Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\,\,\left( {AB < AC} \right)\] và các điểm \[M \in AC,\,\,H \in BC\] sao cho \[MH \bot BC\] và \[MH = HB.\] Kẻ \[HD \bot AB\,\,\left( {D \in AB} \right),\,\,HE \bot AC\,\,\left( {E \in AC} \right)\].

Khi đó:

Xét \[\Delta BIM\] và \[\Delta CKM\] có:

\[MB = MC\] (\[M\] là trung điểm của \[BC\])

\[\widehat {BIM} = \widehat {CKM} = 90^\circ \].

\[\widehat {IMB} = \widehat {KMC}\] (đối đỉnh).

Do đó, \[\Delta BIM = \Delta CKM\] (cạnh huyền – góc nhọn)

Từ đó suy ra \[BI = CK\] (hai cạnh tương ứng).

Mà \[KC = 4\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\]

Do đó, \[BI = 4\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\]

a) Đúng.

Nhận thấy, \[\widehat {ABM},\,\,\widehat {ACN}\] lần lượt kề bù với \[\widehat {ABC},\,\,\widehat {ACB}\].

Do đó, ta có: \[\widehat {ABM} = 180^\circ - \widehat {ABC},\,\,\widehat {ACN} = 180^\circ - \widehat {ACB}\].

Từ đó, suy ra \[\widehat {ABM} = \,\,\widehat {ACN}\].

b) Đúng.

Xét \[\Delta ABI\] và \[\Delta ACI\], có:

\[\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\] (gt)

\[AI\] chung (gt)

Suy ra \[\Delta ABI = \Delta ACI\] (cạnh góc vuông – góc nhọn)

c) Sai.

Xét \[\Delta ABM\] và \[\Delta ACN\], có:

\[MB = NC\] (gt)

\[\widehat {MBA} = \widehat {NCA}\] (cmt)

\[AB = AC\,\,\left( {\Delta ABI = \Delta ACI} \right)\]

Do đó, \[\Delta ABM = \Delta ACN\] (c.g.c)

d) Đúng.

Vì \[\Delta ABM = \Delta ACN\] (cmt) nên \[\widehat {AMB} = \widehat {CNA}\] (hai góc tương ứng) hay \[\widehat {EMB} = \widehat {CNF}\].

Xét \[\Delta BME\] và \[\Delta CNF\] có:

\[MB = CN\] (gt)

\[\widehat {EMB} = \widehat {FNC}\] (cmt)

Do đó, \[\Delta BME = \Delta CNF\] (cạnh huyền – góc nhọn)