Đường thẳng \(d\) là trung trực của đoạn thẳng \(MN\) khi

 

a) Đúng.

Vì đường trung trực của đoạn thẳng \[AC\] cắt \[AC\] tại \[H,\] cắt \[BC\] tại \[D\] nên ta có \[DC = DA\] (tính chất đường trung trực).

Suy ra \[\Delta ADC\] cân tại \[D\].

b) Sai.

Vì \[\Delta ADC\] cân tại \[D\] nên \[\widehat C = \widehat {{A_1}}\].

Ta có: \[\widehat {ABD} = 90^\circ - \widehat C\] và \[\widehat {{A_2}} = 90^\circ - \widehat {{A_1}}\].

Suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {{A_2}}\].

Vậy \[\Delta ADB\] cân tại \[D\].

c) Đúng.

Vì \[\Delta ADB\] cân tại \[D\]nên \[AD = BD\].

d) Đúng.

Có \[AD = BD\] (cmt) và \[DC = DA\] (\[\Delta ADC\]cân tại \[D\]) nên \[DC = DB\].

Vậy \[D\] là trung điểm của \[BC.\]

Xét \[\Delta ABC\] có \[CB = AB\] nên \[\Delta ABC\] cân tại \[B\].

Do đó, \[\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \frac{{180^\circ - CBA}}{2} = \frac{{180^\circ - 50^\circ }}{2} = 65^\circ \].

Xét \[\Delta CBD\] có \[CD = BD\] nên \[\Delta CBD\] cân tại \[D\].

Suy ra \[\widehat {CBD} = \widehat {BCD} = 65^\circ \].

Do đó, \[\widehat {ABD} = \widehat {BCD} - \widehat {CBA} = 65^\circ - 50^\circ = 15^\circ \].