Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm tiêu cự của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{7} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

a) Điểm \(N\left( {0;b} \right) \in Oy\).

Vì \(N\) cách đều \(B,C\) nên \(NB = NC\)\( \Leftrightarrow {2^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 8b = - 5 \Leftrightarrow b = - \frac{5}{8}\).

Điểm \(N\) có tung độ là \( - \frac{5}{8}\).

b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 4} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.

c) Có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot \left( { - 4} \right) = 0\).

Do đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

d) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x; - 3 - y} \right)\).

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 3\\ - 3 - y = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 4; - 3} \right)\].

Đáp án: a) Đúng;     b) Đúng;   c) Đúng;    d) Sai.

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {5; - 2} \right),R = 5\sqrt 2 \).

a) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 - \left( { - 2} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 2 }} = 5\sqrt 2 = R\).

Do đó đường thẳng \(\Delta :x - y + 3 = 0\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 7;1} \right)\).

Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A\)  nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 7;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\( - 7\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(7x - y + 13 = 0\).

c) Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường tròn ta thấy thỏa mãn.

Do đó điểm \(A\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).

d) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(d:x + y + 7 = 0\) có dạng \(d':x + y + c = 0,c \ne 7\)

Lại có \(d\left( {I,d'} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {5 - 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 5\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {3 + c} \right| = 10\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 + c = 10\\3 + c = - 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 7\\c = - 13\end{array} \right.\).

Vì \(c \ne 7\) nên \(c = - 13\).

Vậy có 1 tiếp tuyến là \(d':x + y - 13 = 0\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;   c) Đúng;    d) Sai.