Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {0;4} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {2;0} \right)\) có tọa độ tâm \(I\) là

a) Điểm \(N\left( {0;b} \right) \in Oy\).

Vì \(N\) cách đều \(B,C\) nên \(NB = NC\)\( \Leftrightarrow {2^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 8b = - 5 \Leftrightarrow b = - \frac{5}{8}\).

Điểm \(N\) có tung độ là \( - \frac{5}{8}\).

b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 4} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.

c) Có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot \left( { - 4} \right) = 0\).

Do đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

d) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x; - 3 - y} \right)\).

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 3\\ - 3 - y = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 4; - 3} \right)\].

Đáp án: a) Đúng;     b) Đúng;   c) Đúng;    d) Sai.

Gọi \(D\left( {x;y} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {BD} = \left( {x;y - 1} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {BD} = \left( {2x;2y - 2} \right)\).

\(\overrightarrow {DC} = \left( {3 - x; - y} \right) \Rightarrow 5\overrightarrow {DC} = \left( {15 - 5x; - 5y} \right)\).

Vì \(2\overrightarrow {BD} = 5\overrightarrow {DC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15 - 5x = 2x\\ - 5y = 2y - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 15\\7y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{15}}{7}\\y = \frac{2}{7}\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {\frac{{15}}{7};\frac{2}{7}} \right)\).

Khi đó \(a + 3b = \frac{{15}}{7} + \frac{6}{7} = \frac{{21}}{7} = 3\).