Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Gọi \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( {10} \right) + G\left( 1 \right) = - 11\) và \(F\left( 0 \right) + G\left( {10} \right) = 1.\) Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos } \,2x \cdot f\left( {\sin 2x} \right)dx\) bằng:

Vì \(F\left( x \right),\,\,G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) nên ta có \(F(x) = G(x) + C.\)

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{F\left( {10} \right) + G\left( 1 \right) = - 11}\\{F\left( 0 \right) + G\left( {10} \right) = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{G\left( {10} \right) + C + G\left( 1 \right) = - 11}\\{G\left( 0 \right) + C + G\left( {10} \right) = 1}\end{array} \Rightarrow G\left( 1 \right) - G\left( 0 \right) = - 12} \right.} \right..\]

Xét \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos } \,2x \cdot f\left( {\sin 2x} \right)dx.\)

Đặt \(t = \sin 2x \Rightarrow \frac{1}{2}dt = \cos 2xdx\), đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1}\end{array}} \right..\)

Khi đó \(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)} \,dt = \left. {\frac{1}{2}\left[ {G\left( t \right)} \right]} \right|_0^1 = \frac{1}{2}\left[ {G\left( 1 \right) - G\left( 0 \right)} \right] = - 6.\) Chọn D.