Cho điểm \(A\left( {0;1} \right)\), đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) và song song với trục \(Ox\). Tập hợp các điểm \(M\) trên mặt phẳng tọa độ sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(A\) bằng khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(d\) là

Chọn D

Gọi tọa độ của điểm \(M\) là \(\left( {x;y} \right)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) và song song với trục \(Ox\)có dạng \(\left( d \right):y + 1 = 0\).

Khoảng cách từ \(M\) đến \(A\) là \(MA = \sqrt {{{\left( {0 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \)

Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(d\) là \(\frac{{\left| {y + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = \left| {y + 1} \right|\)

Để khoảng cách từ \(M\) đến \(A\) bằng khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(d\) thì \(\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \left| {y + 1} \right|\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {y + 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 = {y^2} + 2y + 1\)\( \Leftrightarrow 4y = {x^2}\)\( \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}{x^2}\).

Vậy tập hợp các điểm \(M\)là một parabol có phương trình \(y = \frac{1}{4}{x^2}\).