Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho hàm số \[y = \frac{1}{4}{x^2}\] có đồ thị \[\left( P \right)\] và đường thẳng \[\left( d \right):\]\[y = - \frac{1}{2}x + 2.\]

a) Vẽ đồ thị \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] trên cùng mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) bằng phép tính.

a) Vẽ parabol \((P)\) và đường thẳng \(d\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(a = 2 > 0\), hàm số đồng biến nếu \(x > 0\), hàm số nghịch biến nếu \(x < 0\)

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) là đường cong Parabol đi qua điểm \(O\), nhận \(Oy\) làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Đồ thị hàm số \(y = x + 1\) là đường thẳng đi qua điểm \((0;1)\) và \(( - 1;0)\)

b) Tìm tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}2{x^2} = x + 1\\2{x^2} - x - 1 = 0\end{array}\).

Ta có \(a + b + c = 2 - 1 - 1 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x = 1\) và \(x = \frac{c}{a} =  - \frac{1}{2}\)

+ Với \(x = 1 \Rightarrow y = 1 + 1 = 2\)

+ Với \(x =  - \frac{1}{2} \Rightarrow y =  - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\).

Vậy tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) là \((1;2)\) và \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\).
Đồ thị hàm số \(y =  - {x^2}\) đi qua gốc tọa độ \(O\), có bề lõm hướng xuống và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.
Bảng giá trị:

\( \Rightarrow \) Parabol \(\left( P \right):y =  - {x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 4} \right)\), \(\left( { - 1; - 1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1; - 1} \right)\), \(\left( {2; - 4} \right)\).
Đồ thị Parabol \(\left( P \right):y =  - {x^2}\) :

b) Hoành độ giao điểm của đồ thị \((P)\) và \((d)\)là nghiệm của phương trình:

\( - {x^2} = 5x + 6 \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 6 = 0\)
Ta có: \({\rm{\Delta }} = {b^2} - 4ac = {5^2} - 4.6 = 1 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

 \(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - 5 + 1}}{2} =  - 2\\{x_2} = \frac{{ - 5 - 1}}{2} =  - 3\end{array}\).
Với \({x_1} =  - 2 \Rightarrow {y_1} =  - {( - 2)^2} =  - 4\).
Với \({x_2} =  - 3 \Rightarrow {y_2} =  - {( - 3)^2} =  - 9\).
Vậy tọa độ các giao điểm của \(\left( P \right)\) và (d) là \(A\left( { - 2; - 4} \right),B\left( { - 3; - 9} \right)\).