Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho hàm số \[y = \frac{1}{4}{x^2}\] có đồ thị \[\left( P \right)\] và đường thẳng \[\left( d \right):\]\[y = - \frac{1}{2}x + 2.\]

a) Vẽ đồ thị \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] trên cùng mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) bằng phép tính.

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\).
Đồ thị hàm số \(y =  - {x^2}\) đi qua gốc tọa độ \(O\), có bề lõm hướng xuống và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.
Bảng giá trị:

\( \Rightarrow \) Parabol \(\left( P \right):y =  - {x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 4} \right)\), \(\left( { - 1; - 1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1; - 1} \right)\), \(\left( {2; - 4} \right)\).
Đồ thị Parabol \(\left( P \right):y =  - {x^2}\) :

b) Hoành độ giao điểm của đồ thị \((P)\) và \((d)\)là nghiệm của phương trình:

\( - {x^2} = 5x + 6 \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 6 = 0\)
Ta có: \({\rm{\Delta }} = {b^2} - 4ac = {5^2} - 4.6 = 1 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

 \(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - 5 + 1}}{2} =  - 2\\{x_2} = \frac{{ - 5 - 1}}{2} =  - 3\end{array}\).
Với \({x_1} =  - 2 \Rightarrow {y_1} =  - {( - 2)^2} =  - 4\).
Với \({x_2} =  - 3 \Rightarrow {y_2} =  - {( - 3)^2} =  - 9\).
Vậy tọa độ các giao điểm của \(\left( P \right)\) và (d) là \(A\left( { - 2; - 4} \right),B\left( { - 3; - 9} \right)\).

a) Vẽ parabol \((P)\) và đường thẳng \(d\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(a = 2 > 0\), hàm số đồng biến nếu \(x > 0\), hàm số nghịch biến nếu \(x < 0\)

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) là đường cong Parabol đi qua điểm \(O\), nhận \(Oy\) làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Đồ thị hàm số \(y = x + 1\) là đường thẳng đi qua điểm \((0;1)\) và \(( - 1;0)\)

b) Tìm tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}2{x^2} = x + 1\\2{x^2} - x - 1 = 0\end{array}\).

Ta có \(a + b + c = 2 - 1 - 1 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x = 1\) và \(x = \frac{c}{a} =  - \frac{1}{2}\)

+ Với \(x = 1 \Rightarrow y = 1 + 1 = 2\)

+ Với \(x =  - \frac{1}{2} \Rightarrow y =  - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\).

Vậy tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) là \((1;2)\) và \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).