Một người thả một viên đá rơi xuống một cái giếng. Sau 1,5 giây thì nghe thấy tiếng đá chạm đáy giếng. Xác định thời gian rơi của viên đá (làm tròn đến 0,1 giây) và chiều sâu của cái giếng (làm tròn đến mét), biết rằng quãng đường \(S\)(mét) của vật rơi tự do (không có vận tốc đầu) sau \[\;t\] giây được tính theo công thức \(S = 5{t^2}\)và vận tốc của âm thanh là 340m/s.

Gọi thời gian rơi của hòn đá từ miệng giếng đến đáy giếng là \[t\](\(0 < t < 1,5\) giây)

    Suy ra thời gian âm thanh truyền từ đáy giếng đến miệng giếng là \(1,5 - t\) (giây)

    Quãng đường mà hòn đá rơi được: \({S_1} = 5{t^2}\)

    Quãng đường mà âm thanh truyền được: \({S_2} = 340.\left( {1,5 - t} \right)\)

    Vì quãng đường mà hòn đá rơi được bằng quãng đường mà âm thanh truyền được (chính là khoảng cách từ miệng giếng đến đáy giếng), nên ta có phương trình:

    \({S_1} = {S_2}\)\( \Rightarrow 5{t^2} = 340.\left( {1,5 - t} \right)\)\( \Rightarrow 5{t^2} = 510 - 340t\)\( \Rightarrow 5{t^2} + 340t - 510 = 0\)

    \( \Rightarrow {t^2} + 68t - 102 = 0\,\,\left( {a = 1;\,\,b' = 34;\,\,c = 102} \right)\)

    \({\rm{\Delta '}} = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {34^2} - 1.\left( { - 102} \right) = 1258\);        \(\sqrt {{\rm{\Delta '}}}  = \sqrt {1258} \)

    Phương trình có hai nghiệm:

    \({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {{\rm{\Delta '}}} }}{a} = \frac{{ - 34 + \sqrt {1258} }}{1} = 1,46\) (nhận);

    \({x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {{\rm{\Delta '}}} }}{a} = \frac{{ - 34 - \sqrt {1258} }}{1} =  - 69,46 < 0\)(loại)

    Vậy: Thời gian rơi của hòn đá từ miệng giếng đến đáy giếng là \(t = 1,46\) giây. Độ sâu của cái giếng là: \(S = 5.1,{46^2} = 11\) mét.