Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 3x + m - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_i};{x_2}\) và thỏa mãn \({x_1} < 1 < {x_2}\).
Hướng dẫn: \({x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 1 - 1 < {x_2} - 1 \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1\). Vậy \({x_1} - 1\) và \({x_2} - 1\) trái dấu.
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 3x + m - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_i};{x_2}\) và thỏa mãn \({x_1} < 1 < {x_2}\).
Hướng dẫn: \({x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 1 - 1 < {x_2} - 1 \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1\). Vậy \({x_1} - 1\) và \({x_2} - 1\) trái dấu.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(a = 1;b = - 3;c = m - 1\).
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} - 1\) và \({x_2} - 1\) trái dấu khi và chỉ khi
Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}\).
Với điều kiện \(m < \frac{{13}}{4}\), phương trình có hai nghiệm phân biệt\({x_1};{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3;{x_1}{x_2} = m - 1\).
Ta có: \((2) \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right) - 3 + 1 < 0 \Leftrightarrow \;m < 3\). Kết hợp \(m < 3\) và \(m < \frac{{13}}{4} \Rightarrow \;m < 3\).
Cách khác: Đặt \(t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1\), thế t vào phương trình đã cho, ta có:
\({\left( {t + 1} \right)^2} - 3\left( {t + 1} \right) + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t + m - 3 = 0{\rm{ }}\left( * \right)\)
Điều kiện \({x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1\). Khi đó, gọi \({t_1} = {x_1} - 1;{t_2} = {x_2} - 1\) là hai nghiệm phương trình (*).
Vậy \({t_1} < 0 < {t_2} \Leftrightarrow \;m - 3 < 0 \Leftrightarrow \;m < 3\).
Nhận xét: Cách thứ hai, gọi là đặt ẩn phụ; ta không phải tìm điều kiện: \(\Delta > 0\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có: \(a = 1;b = 4;c = m\). Phương trình có hai nghiệm trái dấu\( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow \;m < 0\).
Nhận xét: Tìm \(m\) để phương trị̀nh có hai nghiệm phân biệt âm: \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' > 0}\\{P = \frac{c}{a} > 0}\\{S = - \frac{b}{a} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - m > 0}\\{m > 0}\\{ - 4 < 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m < 4} \right.} \right.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
\(\begin{array}{*{20}{c}}{{\Delta ^\prime } = {{(m - 1)}^2} - (m + 1) = {m^2} - 3m = m(m - 3)}\\{s = 2(m - 1);P = m + 1}\end{array}\)
a) (1) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow m < - 1\)
b) (1) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m(m - 3) > 0}\\{2(m - 1) > 0 \Leftrightarrow m > 1}\\{m + 1 > 0}\end{array}} \right.\)
c) Có các trường hợp xảy ra:
i) (1) Có nghiệm kép dương: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } = 0}\\{ - \frac{b}{a} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m(m - 3) = 0}\\{m - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow m = 3} \right.} \right.\)
ii) (1) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow m < - 1\)
iii) (1) có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương
(1) có 1 nghiệm \({x_1} = 0 \Leftrightarrow m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)
Khi đó: (1) \( \Leftrightarrow {x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 4 < 0}\end{array}} \right.\)
Vậy \(m = 3\) hoặc \(m = - 1\) thì phương trình có đúng 1 nghiệm dương.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập