Cho phương trình \({x^2} - 4x - {m^2} - 1 = 0\) . Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] phân biệt thỏa mãn\({x_2} = - 5{x_1}\) .

Có \(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.\left( {m + 3} \right) = 6 - m.\)

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] khi \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6\)

Theo định lý Viét, ta có \({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\)\( = 6\) , \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)\( = m + 3\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = x_1^2\\{x_1} + {x_2} = 6\end{array} \right. \Rightarrow x_1^2 + {x_1} - 6 = 0 \Rightarrow {x_1} =  - 3 \Rightarrow {x_1} = 2.\)

  Với \({x_1} =  - 3 \Rightarrow {x_2} = 9\) thay vào \({x_1}{x_2} = m + 3 \Rightarrow m =  - 30\)(thỏa mãn)

  Với \({x_1} = 2 \Rightarrow {x_2} = 4\) thay vào \({x_1}{x_2} = m + 3 \Rightarrow m = 5\)(thỏa mãn)

Vậy \(m =  - 30;\)\(m = 5\)là giá trị cần tìm.

Có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {k - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( { - 4k} \right) = {\left( {k - 1} \right)^2} + 4k = {\left( {k + 1} \right)^2}\)

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] khi \(k \ne - 1\)

Theo định lý Viét, ta có \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\) \( = 2k - 2\), \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 4k\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3{x_1} - {x_2} = 2\\{x_1} + {x_2} = 2k - 2\end{array} \right. \Rightarrow 4{x_1} = 2k \Rightarrow {x_1} = \frac{k}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{3k - 4}}{2}.\)

Thay\({x_1} = \frac{k}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{3k - 4}}{2}.\) vào \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)\( = - 4k\) , ta được

\(\frac{k}{2} \cdot \frac{{3k - 4}}{2} = - 4k \Leftrightarrow 3{k^2} + 12k = 0 \Leftrightarrow k = 0,k = - 4\) (thỏa mãn).

Vậy \(k = 0,k = - 4\) là giá trị cần tìm.