Cho tam giác  \[ABC\] vuông tại \[A\], có \[AB = 10cm\] và \[AC = \sqrt {21} cm\]. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].

Xét đường tròn \(({\rm{O}})\), ta có:

\(\widehat {{\rm{BAC}}}\) và \(\widehat {{\rm{BOC}}}\) là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC nên $\widehat{\text{BAC}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{BOC}}=\frac{1}{2}\cdot {120}^{°}={60}^{°}$

Tam giác BOC cân tại O có góc ở đỉnh $\widehat{\text{BOC}}={120}^{°}$ (gt)

$\Rightarrow \widehat{\text{OBC}}=\widehat{\text{OCB}}=\frac{{180}^{°}-\widehat{\text{BOC}}}{2}=\frac{{180}^{°}-{120}^{°}}{2}={30}^{°}$

Do đó $\widehat{\text{BCA}}=\widehat{\text{OCB}}+\widehat{\text{OCA}}={30}^{°}+{20}^{°}={50}^{°}$

Xét tam giác ABC , ta có: $\widehat{\text{ABC}}={180}^{°}-(\widehat{\text{BAC}}+\widehat{\text{BCA}})$ $={180}^{°}-\left({60}^{°}+{50}^{°}\right)={70}^{°}.$

Vậy số đo các góc của tam giác ABC là: $\widehat{\text{BAC}}={60}^{°};\widehat{\text{ABC}}={70}^{°}\text{ và }\widehat{\text{BCA}}={50}^{°}$

Đường tròn \[\left( {I;r} \right)\] tiếp xúc với các cạnh \[AB,AC,BC\] theo thứ tự \[M,N,P\]

Ta có: \[{S_{AIB}} = \frac{1}{2}IM.AB = \frac{1}{2}r.AB\,\left( 1 \right);\,{S_{AIC}} = \frac{1}{2}IN.AC = \frac{1}{2}r.AC\,\left( 2 \right);\,{S_{BIC}} = \frac{1}{2}r.BC\,\left( 3 \right)\]

Cộng \[\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\] vế theo vế, ta được: \[\frac{{{S_{AIB}} + {S_{AIC}} + {S_{BIC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{1}{2}r.\left( {AB + AC + BC} \right)\]

Mà \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{6.8}}{2} = 24\left( {c{m^2}} \right)\] , \[BC = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = \sqrt {100}  = 10\left( {cm} \right)\]

Nên ta có: \[24 = \frac{1}{2}r\left( {6 + 8 + 10} \right) \Rightarrow r = 2\left( {cm} \right)\].