Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], có \[AB = 6cm\] và \[AC = 8cm\] ngoại tiếp đường tròn \[\left( {I;r} \right)\]. Tính \[r\]

Xét đường tròn \(({\rm{O}})\), ta có:

\(\widehat {{\rm{BAC}}}\) và \(\widehat {{\rm{BOC}}}\) là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC nên $\widehat{\text{BAC}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{BOC}}=\frac{1}{2}\cdot {120}^{°}={60}^{°}$

Tam giác BOC cân tại O có góc ở đỉnh $\widehat{\text{BOC}}={120}^{°}$ (gt)

$\Rightarrow \widehat{\text{OBC}}=\widehat{\text{OCB}}=\frac{{180}^{°}-\widehat{\text{BOC}}}{2}=\frac{{180}^{°}-{120}^{°}}{2}={30}^{°}$

Do đó $\widehat{\text{BCA}}=\widehat{\text{OCB}}+\widehat{\text{OCA}}={30}^{°}+{20}^{°}={50}^{°}$

Xét tam giác ABC , ta có: $\widehat{\text{ABC}}={180}^{°}-(\widehat{\text{BAC}}+\widehat{\text{BCA}})$ $={180}^{°}-\left({60}^{°}+{50}^{°}\right)={70}^{°}.$

Vậy số đo các góc của tam giác ABC là: $\widehat{\text{BAC}}={60}^{°};\widehat{\text{ABC}}={70}^{°}\text{ và }\widehat{\text{BCA}}={50}^{°}$

a) (Xem hình vẽ).

Tam giác ANC vuông tại B có$\widehat{\text{C}}={60}^{°}$ nên tam giác ABC là nửa tam giác đều $\Rightarrow \widehat{\text{BAC}}={30}^{°}\Rightarrow \text{AC}=2\text{BC}=2.3=6( \text{cm})$

Theo bài toán 1 ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \(\frac{{{\rm{AC}}}}{2} = \frac{6}{2} = 3(\;{\rm{cm}})\)và tâm O là trung điểm cạnh huyền AC .

b) Dễ thấy tam giác BCD đều (Theo bài toán 2).

Gọi I là trọng tâm của tam giác BCD, ta có I là tâm của đường tròn ngoại tiếp vì cạnh của tam giác đều BCD là \(3(\;{\rm{cm}})\) nên bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCD là \(\frac{{3\sqrt 3 }}{3}\) (Xem lời giải bài toán 2).