Cho tứ giác nội tiếp \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) là tam giác nhọn. Vẽ các đường cao \(AM\) và \(CN\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AM\) và \(CN\).

a) Chứng minh \(\widehat {ABC} = \widehat {CHM}\).

b) Chứng minh \(\widehat {ADC} = \widehat {AHC}\).

c) Chứng minh \(\widehat {MAC} = \widehat {MNC}\).

d) Chứng minh \(\widehat {MAC} + {90^0} = \widehat {ANM}\).

a) Chứng minh tứ giác \(BFHD\) nội tiếp.

- Xét đường tròn \(\left( I \right)\)

     \(\widehat {CFB} = {90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow CF \bot AB\)

     \(\widehat {CFB} = {90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BE \bot AC\)

     Suy ra \(H\) là trực tâm của tam giác\(ABC\) hay \(AH \bot BC \Rightarrow \)\(\widehat {HDB} = {90^0}\)

- Xét tứ giác \(BFHD\)

     \(\widehat {CFB} = \widehat {HDB} = {90^0}\)(chứng minh trên)

     \( \Rightarrow \widehat {CFB} + \widehat {HDB} = {180^0}\)

tứ giác \(BFHD\) có tổng hai góc đối \(\widehat {CFB},\widehat {HDB}\) bằng \({180^0}\) nên tứ giác \(BFHD\) nội tiếp.

b)  Chứng minh tứ giác \(ABDE\) nội tiếp.

Gọi  \(O\) là trung điểm\[AB\].

Xét tam giác \[ADB\] có \[\widehat {ADB} = {90^0}\] và \[DO\] là đường trung tuyến nên \[OD = OA = OB = \frac{1}{2}AB\] \[\left( 1 \right)\]

Xét tam giác \[AEB\] có \[\widehat {AEB} = {90^0}\] và \[EO\] là đường trung tuyến nên \[OE = OA = OB = \frac{1}{2}AB\] \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\]và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[OD = OE = OA = OB\]

Vậy tứ giác \(ABDE\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) là trung điểm\[AB\].

a) Chứng minh \[ADHE\] là tứ giác nội tiếp.

Vì \(BD,CE\) là các đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC}\\{CE \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow \widehat {AEH} = \widehat {ADH} = {90^ \circ }\).

Xét tứ giác \(ADHE\) có \(\widehat {AEH} + \widehat {ADH} = {90^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }\).

\[ \Rightarrow ADHE\] là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng \[{180^0}\]).

b) Chứng minh \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi  \(O\) là trung điểm\[BC\].

Vì \(BD,CE\) là các đường cao của \(\Delta ABC\) nên\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC}\\{CE \bot AB}\end{array} \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {BEC} = {{90}^ \circ }} \right.\)

Xét tam giác \[BDC\] có \[\widehat {BDC} = {90^0}\] và \[DO\] là đường trung tuyến nên \[OD = OC = OB = \frac{1}{2}BC\] \[\left( 1 \right)\]

Xét tam giác \[BEC\] có \[\widehat {BEC} = {90^0}\] và \[EO\] là đường trung tuyến nên \[OE = OC = OB = \frac{1}{2}BC\] \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\]và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[OD = OE = OC = OB\]

Vậy tứ giác \(BCDE\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) là trung điểm\[BC\].