Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - m + 1\), \(f\left( 2 \right) = 1\). Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;\, - 3} \right)\). Tính  \(f\left( { - 1} \right)\)

+) Trên \(\left[ { - 1;\,2} \right]\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một phần của parabol \(\left( P \right):y = a{{\rm{x}}^2} + bx + c\) đi qua các điểm \(\left( { - 1;1} \right),\,\left( {0;2} \right),\,\left( {2; - 2} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 1\\c = 2\\a{.2^2} + b.2 + c =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,y =  - {x^2} + 2.\)

+) Trên \(\left[ {2;\,3} \right]\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đoạn thẳng \(\left( d \right):y = m{\rm{x}} + n\) đi qua các điểm \(\left( {2; - 2} \right),\,\left( {3;3} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2m + n =  - 2\\3m + n = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n =  - 12\end{array} \right. \Rightarrow \left( d \right):\,y = 5x - 12.\)

Vậy \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 2\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\,\,5x - 12\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right.\).

+) Từ đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x + {C_1}\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + {C_2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right..\)

Do \(F\left( { - 1} \right) =  - \frac{5}{3} \Rightarrow {C_1} = 0.\)

Ta có \(F\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + {C_2}} \right) \Rightarrow {C_2} = \frac{{46}}{3}.\)

Khi đó : \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + \frac{{46}}{3}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right..\)

a) \(f\left( 0 \right) = {2^0} - \cos 0 = 0\).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

b) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {2^x} - \cos x \Rightarrow F'\left( 0 \right) = {2^0} - \cos 0 = 0\).

Vậy mệnh đề đã cho sai.

c) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(F\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = \frac{\pi }{2}\) là \(k = F'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {2^{\frac{\pi }{2}}} - \cos \frac{\pi }{2} = \sqrt {{2^\pi }} \).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

d) \(\int {f(x){\rm{d}}x}  = \int {\left[ {{2^x} - \cos x} \right]{\rm{d}}x}  = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x + C\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x + C\).

Giả thiết \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} - \sin 0 + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow C = 0\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x\)\( \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{{{2^{ - 1}}}}{{\ln 2}} - \sin \left( { - 1} \right) = \frac{1}{{2\ln 2}} + \sin 1\).