Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;\,3} \right],\)có đồ thị là một phần của parabol và một phần là đoạn thẳng như trong hình bên dưới. Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và \(F\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;\,3} \right]\) thỏa mãn \(F\left( { - 1} \right) = - \frac{5}{3}.\) Giá trị của \(F\left( 0 \right) + F\left( 3 \right)\) bằng bao nhiêu? (kết quả lấy đến chữ số thập phân thứ nhất sau dấu phảy).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
+) Trên \(\left[ { - 1;\,2} \right]\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một phần của parabol \(\left( P \right):y = a{{\rm{x}}^2} + bx + c\) đi qua các điểm \(\left( { - 1;1} \right),\,\left( {0;2} \right),\,\left( {2; - 2} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 1\\c = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,y = - {x^2} + 2.\)
+) Trên \(\left[ {2;\,3} \right]\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đoạn thẳng \(\left( d \right):y = m{\rm{x}} + n\) đi qua các điểm \(\left( {2; - 2} \right),\,\left( {3;3} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2m + n = - 2\\3m + n = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = - 12\end{array} \right. \Rightarrow \left( d \right):\,y = 5x - 12.\)
Vậy \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 2\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\,\,5x - 12\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right.\).
+) Từ đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x + {C_1}\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + {C_2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right..\)
Do \(F\left( { - 1} \right) = - \frac{5}{3} \Rightarrow {C_1} = 0.\)
Ta có \(F\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + {C_2}} \right) \Rightarrow {C_2} = \frac{{46}}{3}.\)
Khi đó : \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + \frac{{46}}{3}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right..\)
Vậy \(F\left( 0 \right) + F\left( 3 \right) = \frac{{11}}{6} \approx 1,8.\)Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int {\left( {3{x^2} + 2x - m + 1} \right){\rm{d}}x} \)\( = {x^3} + {x^2} + \left( {1 - m} \right)x + C\).
Theo giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = - 3\end{array} \right.\)\(\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^3} + {2^2} + \left( {1 - m} \right).2 + C = 1\\1 + 1 + \left( {1 - m} \right) + C = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + C = - 13\\ - m + C = - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 7\\C = 1\end{array} \right.\).
Suy ra \(f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 6x + 1\). Vậy \(f\left( { - 1} \right) = 7\).
Câu 2
a) \(f\left( 0 \right) = 0\).
b) \(F'\left( 0 \right) = 2\)
c) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(F\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = \frac{\pi }{2}\) là \(k = \sqrt {{2^\pi }} \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) \(f\left( 0 \right) = {2^0} - \cos 0 = 0\).
Vậy mệnh đề đã cho đúng.
b) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {2^x} - \cos x \Rightarrow F'\left( 0 \right) = {2^0} - \cos 0 = 0\).
Vậy mệnh đề đã cho sai.
c) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(F\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = \frac{\pi }{2}\) là \(k = F'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {2^{\frac{\pi }{2}}} - \cos \frac{\pi }{2} = \sqrt {{2^\pi }} \).
Vậy mệnh đề đã cho đúng.
d) \(\int {f(x){\rm{d}}x} = \int {\left[ {{2^x} - \cos x} \right]{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x + C\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x + C\).
Giả thiết \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} - \sin 0 + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow C = 0\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x\)\( \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{{{2^{ - 1}}}}{{\ln 2}} - \sin \left( { - 1} \right) = \frac{1}{{2\ln 2}} + \sin 1\).
Vậy mệnh đề đã cho đúng.Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a)\(F'\left( 0 \right) = 0\).
b) \(F\left( 1 \right) = 0\).
c) \(\int {F\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \frac{2}{3}{x^3} + C\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập