Biết \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {x + 2025}  + \sqrt {x + 2024} }}}  = a\left( {x + 2025} \right)\sqrt {x + 2025}  + b\left( {x + 2024} \right)\sqrt {x + 2024}  + C\) với \(a,b\) là các số hữu tỉ và \(C\) là hằng số bất kì. Tính \(S = 2025a + 3b.\)

+ Vận tốc khi viên đá bay lên là \[{v_1}\left( t \right) = \int { - g{\rm{d}}t}  = \int { - 10} {\rm{d}}t =  - 10t + C\].

+ Theo giả thiết ta có \[{v_1}\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow {v_1}\left( t \right) =  - 10t + 10\].

+ Đến vị trí cao nhất thì viên đá dừng, ta có.

+ Quãng đường từ lúc ném đến khi viên đá đạt độ cao nhất là:

\[{S_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {\left( { - 10t + 10} \right)} {\rm{d}}t =  - 5{t^2} + 10t + {C_1}\]

+ Ta có \[{S_1}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} = 0\]\[ \Rightarrow {S_1}\left( t \right) =  - 5{t^2} + 10t\].

+ Sau \[1\left( s \right)\] viên đá đạt độ cao \[ \Rightarrow {S_1}\left( 1 \right) = 5\left( m \right)\].

+ Vận tốc khi viên đá rơi xuống là \[{v_2}\left( t \right) = \int {g{\rm{d}}t}  = \int {10} {\rm{d}}t = 10t + {C_2}\].

+ Lúc bắt đầu rơi \[{v_2}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_2} = 0 \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = 10t\].

+ Quãng đường viên đá rơi xuống là: \[{S_2}\left( t \right) = \int {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {10t} {\rm{d}}t = 5{t^2} + {C_3}\].

+ Ta có \[{S_2}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_3} = 0\]\[ \Rightarrow {S_2}\left( t \right) = 5{t^2}\].

Do đó \[5{t^2} = 5 \Rightarrow t = 1\left( s \right)\], suy ra thời gian viên đá rơi đến khi chạm đất là \[1\left( s \right)\].

Ta có: \(I = \int {\frac{{{x^2} - 2025}}{{x\left( {{x^2} + 2025} \right)}}} {\rm{d}}x\)\( = \int {\frac{{1 - \frac{{2025}}{{{x^2}}}}}{{x + \frac{{2025}}{x}}}} {\rm{d}}x\)\( = \int {\frac{1}{{\left( {x + \frac{{2025}}{x}} \right)}}{\rm{d}}\left( {x + \frac{{2025}}{x}} \right)} \)