Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x\) có một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2025\]. Tính \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\] (làm tròn đến hàng đơn vị).

+) Ta có \(f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^{2025}}\)\( = \frac{1}{2}\left( {2x - 1 + 1} \right){\left( {2x - 1} \right)^{2025}}\)\( = \frac{1}{2}{\left( {2x - 1} \right)^{2026}} + \frac{1}{2}{\left( {2x - 1} \right)^{2025}}\)..

+) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int {\left( {\frac{1}{2}{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}} + \frac{1}{2}{{\left( {2x - 1} \right)}^{2025}}} \right){\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{4}\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2027}}}}{{2027}} + \frac{1}{4}\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}}}}{{2026}} + C\)\( = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2027}}}}{{8108}} + \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}}}}{{8104}} + C\).

Lại có: \[F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\] \[ \Rightarrow C = 1\]\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2027}}}}{{8108}} + \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}}}}{{8104}} + 1\)\( \Rightarrow F\left( 0 \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2027}}}}{{8108}} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2026}}}}{{8104}} + 1 \approx 1\).

+ Vận tốc khi viên đá bay lên là \[{v_1}\left( t \right) = \int { - g{\rm{d}}t}  = \int { - 10} {\rm{d}}t =  - 10t + C\].

+ Theo giả thiết ta có \[{v_1}\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow {v_1}\left( t \right) =  - 10t + 10\].

+ Đến vị trí cao nhất thì viên đá dừng, ta có.

+ Quãng đường từ lúc ném đến khi viên đá đạt độ cao nhất là:

\[{S_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {\left( { - 10t + 10} \right)} {\rm{d}}t =  - 5{t^2} + 10t + {C_1}\]

+ Ta có \[{S_1}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} = 0\]\[ \Rightarrow {S_1}\left( t \right) =  - 5{t^2} + 10t\].

+ Sau \[1\left( s \right)\] viên đá đạt độ cao \[ \Rightarrow {S_1}\left( 1 \right) = 5\left( m \right)\].

+ Vận tốc khi viên đá rơi xuống là \[{v_2}\left( t \right) = \int {g{\rm{d}}t}  = \int {10} {\rm{d}}t = 10t + {C_2}\].

+ Lúc bắt đầu rơi \[{v_2}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_2} = 0 \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = 10t\].

+ Quãng đường viên đá rơi xuống là: \[{S_2}\left( t \right) = \int {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {10t} {\rm{d}}t = 5{t^2} + {C_3}\].

+ Ta có \[{S_2}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_3} = 0\]\[ \Rightarrow {S_2}\left( t \right) = 5{t^2}\].

Do đó \[5{t^2} = 5 \Rightarrow t = 1\left( s \right)\], suy ra thời gian viên đá rơi đến khi chạm đất là \[1\left( s \right)\].