Một chiếc cổng có dạng là một parabol \[\left( P \right)\] có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng \[4\,m\,\]( Tham khảo hình vẽ). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật \[CDEF\,\], phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/\[{m^2}\].

a). ĐÚNG

Từ hình vẽ, ta có parabol \[\left( P \right)\] có dạng:\[y = a{x^2} + bx + c\,;\,\,\,a\,,\,b,c\, \in \mathbb{R}\].

Do \[\left( P \right)\] có đồ thị là parabol có đỉnh \[\left( {0\,;\,4} \right)\] và đi qua điểm có tọa độ là \[\left( {2\,;\,\,0} \right)\,\] nên \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c = 4\\4a + 2b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\). Vậy \[\left( P \right)\] có phương trình \[y =  - {x^2} + 4\].

b). ĐÚNG

Theo giả thiết điểm \(D\) thuộc đồ thị \[\left( P \right)\]có tung độ bằng 2 suy ra hoành độ là nghiệm phương trình \[ - {x^2} + 4 = 2 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \]. Theo đồ thị  điểm D có hoành độ dương nên \[D\left( {\sqrt 2 \,;\,2} \right)\]

Chiều rộng của cửa là  \(CF = 2.OD = 2\sqrt 2 \left( m \right)\).

c) SAI

Ta có, diện tích của \[\left( P \right)\] tạo với trục hoành là: \[S = \int_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right){\rm{d}}} x = \frac{{32}}{3}\,{m^2}\].

Diện tích hình chữ nhật \[CDEF\] là \[{S_{CDEF}} = 2.2\sqrt 2  = 4\sqrt 2 \]

Diện tích cần trang trí là \[{S_1} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - 4\sqrt 2  = \frac{{32 - 12\sqrt 2 }}{3}\].

Chi phí để trang trí phần tô đậm là \[\left( {\frac{{32 - 12\sqrt 2 }}{3}} \right).1000000\] ( đồng)

d) ĐÚNG

Ta có, diện tích của \[\left( P \right)\] tạo với trục hoành là: \[S = \int_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right){\rm{d}}} x = \frac{{32}}{3}\,{m^2}\].

Ta gọi điểm \[C\left( {a\,;\,0} \right) \Rightarrow D\left( {a\,;\, - {a^2} + 4} \right)\,;\,0 < a < 2\].

Do đó, diện tích của hình chữ nhật\[CDEF\] là:\[{S_{CDEF}}\, = \,2a\left( {4 - {a^2}} \right) = 8a - 2{a^3}\].

Theo đề bài, để phần trang trí, có chi phí nhỏ nhất thì diện tích của hình chữ nhật \[CDEF\] đạt giá trị lớn nhất.

Do cổng chào đối xứng qua trục tung nên ta đặt: \[g\left( a \right) = \frac{{{S_{CDEF}}}}{2} = 4a - {a^3}\,,\,0 < a < 2\].

\[ \Rightarrow g'\left( a \right) = 4 - 3{a^2}\, \Rightarrow g'\left( a \right) = 0 \Rightarrow a = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].

Ta có, BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra diện tích hình chữ nhật \[CDEF\] đạt giá trị lớn nhất là

\[\frac{{32\sqrt 3 }}{9}\,{m^2}\]. Vậy, diện tích nhỏ nhất của phần dùng để trang trí là \[\frac{{96 - 32\sqrt 3 }}{9}\,{m^2}\].