Một chi tiết máy hình đĩa tròn có dạng như hình vẽ bên nhận \(AB,CD\) làm các trục đối xứng. Người ta cần phủ sơn cả hai mặt của chi tiết. Biết rằng đường tròn lớn có bán kính \(5\)\(dm\), các đường tròn nhỏ đều có bán kính bằng \(2\)\(dm\), \(AB = CD = 4dm\) và  chi phí sơn là 100 000 đồng/\({m^2}\). Tính chi phí \[x\]( nghìn đồng) để sơn hoàn thiện chi tiết máy ( làm tròn đến sau dấu phẩy 1 chữ số).

Chọn hệ toạ độ \[Oxy\] sao cho \[O\] trùng với giao điểm của \(AB\) và \(CD\); các tia  lần lượt trùng với các tia \(OB\),\(OD\). Ta có:

Phương trình đường tròn lớn tâm \[O\] là: \({x^2} + {y^2} = 25 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {25 - {x^2}} \).

Phương trình đường tròn nhỏ tâm \[I\] là: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \).

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường tròn là: \(4 - {\left( {x - 4} \right)^2} = 25 - {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{37}}{8}\).

Gọi \(S,{S_t},S'\) lần lượt là diện tích một mặt của chi tiết, diện tích đường tròn tâm \[O\] và  diện tích phần gạch sọc.

Ta có:  \(S = {S_t} - 4S' = 25\pi  - 4.\left( {2\int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} dx + 2\int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} dx} } } \right)\)