Một chi tiết máy hình đĩa tròn có dạng như hình vẽ bên nhận \(AB,CD\) làm các trục đối xứng. Người ta cần phủ sơn cả hai mặt của chi tiết. Biết rằng đường tròn lớn có bán kính \(5\)\(dm\), các đường tròn nhỏ đều có bán kính bằng \(2\)\(dm\), \(AB = CD = 4dm\) và  chi phí sơn là 100 000 đồng/\({m^2}\). Tính chi phí \[x\]( nghìn đồng) để sơn hoàn thiện chi tiết máy ( làm tròn đến sau dấu phẩy 1 chữ số).

a). ĐÚNG

Từ hình vẽ, ta có parabol \[\left( P \right)\] có dạng:\[y = a{x^2} + bx + c\,;\,\,\,a\,,\,b,c\, \in \mathbb{R}\].

Do \[\left( P \right)\] có đồ thị là parabol có đỉnh \[\left( {0\,;\,4} \right)\] và đi qua điểm có tọa độ là \[\left( {2\,;\,\,0} \right)\,\] nên \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c = 4\\4a + 2b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\). Vậy \[\left( P \right)\] có phương trình \[y =  - {x^2} + 4\].

b). ĐÚNG

Theo giả thiết điểm \(D\) thuộc đồ thị \[\left( P \right)\]có tung độ bằng 2 suy ra hoành độ là nghiệm phương trình \[ - {x^2} + 4 = 2 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \]. Theo đồ thị  điểm D có hoành độ dương nên \[D\left( {\sqrt 2 \,;\,2} \right)\]

Chiều rộng của cửa là  \(CF = 2.OD = 2\sqrt 2 \left( m \right)\).

c) SAI

Ta có, diện tích của \[\left( P \right)\] tạo với trục hoành là: \[S = \int_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right){\rm{d}}} x = \frac{{32}}{3}\,{m^2}\].

Diện tích hình chữ nhật \[CDEF\] là \[{S_{CDEF}} = 2.2\sqrt 2  = 4\sqrt 2 \]

Diện tích cần trang trí là \[{S_1} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - 4\sqrt 2  = \frac{{32 - 12\sqrt 2 }}{3}\].

Chi phí để trang trí phần tô đậm là \[\left( {\frac{{32 - 12\sqrt 2 }}{3}} \right).1000000\] ( đồng)

d) ĐÚNG

Ta có, diện tích của \[\left( P \right)\] tạo với trục hoành là: \[S = \int_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right){\rm{d}}} x = \frac{{32}}{3}\,{m^2}\].

Ta gọi điểm \[C\left( {a\,;\,0} \right) \Rightarrow D\left( {a\,;\, - {a^2} + 4} \right)\,;\,0 < a < 2\].

Do đó, diện tích của hình chữ nhật\[CDEF\] là:\[{S_{CDEF}}\, = \,2a\left( {4 - {a^2}} \right) = 8a - 2{a^3}\].

Theo đề bài, để phần trang trí, có chi phí nhỏ nhất thì diện tích của hình chữ nhật \[CDEF\] đạt giá trị lớn nhất.

Do cổng chào đối xứng qua trục tung nên ta đặt: \[g\left( a \right) = \frac{{{S_{CDEF}}}}{2} = 4a - {a^3}\,,\,0 < a < 2\].

\[ \Rightarrow g'\left( a \right) = 4 - 3{a^2}\, \Rightarrow g'\left( a \right) = 0 \Rightarrow a = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].

Ta có, BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra diện tích hình chữ nhật \[CDEF\] đạt giá trị lớn nhất là

\[\frac{{32\sqrt 3 }}{9}\,{m^2}\]. Vậy, diện tích nhỏ nhất của phần dùng để trang trí là \[\frac{{96 - 32\sqrt 3 }}{9}\,{m^2}\].