Chứng minh rằng hàm số \[y =  - 5{x^2}\] có các tính chất sau:

a) \[y\] không dương với mọi giá trị của \[x\].

b) nếu \[\left| x \right|\] gấp \[n\] lần thì \[y\] gấp \[{n^2}\] lần.

a)

- Bảng giá trị của \[y\] tương ứng với giá trị của \[x\] như sau:

- Vẽ các điểm \[A\left( { - 2;4} \right),B\left( { - 1;1} \right),O\left( {0;0} \right),C\left( {1;1} \right),D\left( {2;4} \right)\] thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) trong mặt phẳng \[Oxy\].

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\)

b) Gọi \(C\) là điểm thuộc \(\left( P \right)\) có tung độ bằng 16.

Ta có: \({y_C} = 16 \Leftrightarrow {x^2}_C = 16 \Leftrightarrow {x_C} =  \pm 4\). Vậy \(C\left( {4;16} \right)\) hoặc \(C\left( { - 4;16} \right)\).

c) Gọi \(D\) là điểm thuộc \(\left( P \right)\) cách đều hai trục tọa độ.

Ta có: \(d\left( {D,Ox} \right) = \left| {{y_D}} \right| = x_D^2;d\left( {D,Oy} \right) = \left| {{x_D}} \right|\).

Theo giả thiết ta có: \(x_D^2 = \left| {{x_D}} \right| \Leftrightarrow \left| {{x_D}} \right| = 0\) (loại) hoặc \(\left| {{x_D}} \right| = 1\).

Vậy \(D\left( {1;1} \right)\) hoặc \(D\left( { - 1;1} \right)\).

a)\(A( - \sqrt 2 ;4) \in (P) \Rightarrow 4 = a{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow a = 2\)

Vậy \(a = 2\) là giá trị cần tìm.

b) Ta có \(y = 2{x^2}\)

+ Vẽ \(\left( P \right)\): Học sinh tự vẽ nhé

+ Thay \(y = 2\) vào hàm số \(y = 2{x^2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}2 = 2{x^2}\\x =  \pm 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {1;2} \right);\left( { - 1;2} \right)\)

+ Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (P) \Rightarrow {y_0} = 2x_{_0}^2\).

\(M\) cách đều \(Ox,\,\,Oy\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{x_0}} \right| = \left| {{y_0}} \right|\\\left| {{x_0}} \right| = \left| {2x_{_0}^2} \right|\\2x_{_0}^2 = \left| {{x_0}} \right|\end{array}\)

\(2x_{_0}^2 =  - {x_0}\) hoặc \(2x_{_0}^2 = {x_0}\)

\(2x_{_0}^2 + {x_0} = 0\) hoặc \(2x_{_0}^2 - {x_0} = 0\)

\({x_0}\left( {2{x_0} + 1} \right) = 0\) hoặc \({x_0}\left( {2{x_0} - 1} \right) = 0\)

Giải \({x_0}\left( {2{x_0} + 1} \right) = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} =  - \frac{1}{2}\)

Giải\({x_0}\left( {2{x_0} - 1} \right) = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = \frac{1}{2}\)

Do đó \({x_0} \in \left\{ { - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right\}\)

\( \Rightarrow {M_1}(0;0);{M_2}\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right);{M_3}\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{1}{2}} \right).\)