Cho phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + m - 1 = 0\) (\(m\) là tham số)

a)   Giải phương trình đã cho với \(m = 0\).

b)   Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\], \[{x_2}\] thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 4\)

1. Với \(m = - 3\) ta có phương trình \({x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 8{\rm{\;}}{\rm{.\;}}}\end{array}} \right.\)

2. Phương trình \[\left( 1 \right)\]có 2 nghiệm phân biệt khi

\({\rm{\Delta '}} \ge 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + \left( {m + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + m + 3 \ge 0\)                           

          \( \Leftrightarrow {m^2} - m + 4 \ge 0\)
          \( \Leftrightarrow {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\) đúng với mọi \(m\)
Vậy chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo hệ thức Viète ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\\ x_1{x}_2=-m-3\end{array}\right.$
Ta có:

       \[\begin{array}{l}x_1^2 + {\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} = 10 & \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow 4{(m - 1)^2} + 2\left( {m + 3} \right) = 10 & \end{array}\]

          \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\rm{ }}4{m^2} - 6m + 10 = 10\\\; \Leftrightarrow {\rm{\;}}2m\left( {2m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = \frac{3}{2}.}\end{array}} \right.\end{array}\]

Vậy với \(m = 0\) hoặc \(m = \frac{3}{2}\)thỏa yêu cầu bài toán

a)  Vì phương trình \({x^2} - 2x + m + 3 = 0\) có nghiệm \(x =  - 1\) nên ta có:

    \({( - 1)^2} - 2.( - 1) + m + 3 = 0 \Leftrightarrow m + 6 = 0 \Leftrightarrow m =  - 6\)

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

    \({x_1} + {x_2} = 2 \Leftrightarrow  - 1 + {x_2} = 2 \Leftrightarrow {x_2} = 3\)

Vậy \(m = 6\) và nghiệm còn lại là \(x = 3\).

b)  \(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( {m + 3} \right) =  - m - 2\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff m<-2$

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m + 3\end{array} \right.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}x_1^3 + x_2^3 = 8\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^3} - 3{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2}) = 8\\ \Leftrightarrow {2^3} - 3.(m + 3).2 = 8\\ \Leftrightarrow 6(m + 3) = 0\\ \Leftrightarrow m + 3 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow m =  - 3\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(m =  - 3\) là giá trị cần tìm.