Cho phương trình \(\frac{1}{2}{x^2} - mx + \frac{1}{2}{m^2} + 4m - 1 = 0\) (\(m\) là tham số).

a)  Giải phương trình đã cho với \(m =  - 1\) .

b)  Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = {x_1} + {x_2}\]

\[\Delta  = {5^2} - 4.1.\left( {3m - 1} \right) = 29 - 12m\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ \Rightarrow \Delta  \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{{29}}{{12}}\]

Áp dụng hệ thức Viète \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 5\\{x_1}{x_2} = 3m - 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\)

\( \Rightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {25 - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\)

\( \Leftrightarrow 25\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right){x_1}{x_2} + 3{x_1}{x_2} = 75\)

\( \Rightarrow {x_1} - {x_2} = 3\)

Kết hợp \({x_1} + {x_2} =  - 5\) suy ra \({x_1} =  - 1;{x_2} =  - 4\) Thay vào \({x_1}{x_2} = 3m - 1\) suy ra  \(m = \frac{5}{3}\)

Vậy \(m = \frac{5}{3}\) là giá trị cần tìm

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow |m| \ge 2\)

Theo hệ thức Viète : \(S = {x_1} + {x_2} = - m\,;\)\(P = {x_1}{x_2} = 1\).

a) Ta có \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {S^3} - 3PS = - {m^3} + 3m\).

b) \(\frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}} = {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} - 2\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \cdot \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \left( {\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}}} \right) - 2\).

\( = \left( {\frac{{{S^2} - 2P}}{P}} \right) - 2 = {\left( {{m^2} - 2} \right)^2} - 2 = {m^4} - 4m + 2\).