Giải phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m - 3 = 0\) \[\left( 1 \right)\] (với \(m\) là tham số).

1.       Giải phương trình với \(m = - 3\).

2.       Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \[\left( 1 \right)\]có các nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

a)  Vì phương trình \({x^2} - 2x + m + 3 = 0\) có nghiệm \(x =  - 1\) nên ta có:

    \({( - 1)^2} - 2.( - 1) + m + 3 = 0 \Leftrightarrow m + 6 = 0 \Leftrightarrow m =  - 6\)

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

    \({x_1} + {x_2} = 2 \Leftrightarrow  - 1 + {x_2} = 2 \Leftrightarrow {x_2} = 3\)

Vậy \(m = 6\) và nghiệm còn lại là \(x = 3\).

b)  \(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( {m + 3} \right) =  - m - 2\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff m<-2$

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m + 3\end{array} \right.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}x_1^3 + x_2^3 = 8\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^3} - 3{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2}) = 8\\ \Leftrightarrow {2^3} - 3.(m + 3).2 = 8\\ \Leftrightarrow 6(m + 3) = 0\\ \Leftrightarrow m + 3 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow m =  - 3\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(m =  - 3\) là giá trị cần tìm.

a)  Với \(m =  - 1\) phương trình trở thành \[\frac{1}{2}{x^2} + x - \frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 9 = 0\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} =  - 1 - \sqrt {10} \\{x_2} =  - 1 + \sqrt {10} \end{array} \right.\]

b)  Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta  > 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - 4.\frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{2}{m^2} + 4m - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow  - 8m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}\]

Để phương trình có nghiệm khác 0 \[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{m^2} + 4m - 1 \ne 0\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m_1} \ne  - 4 - 3\sqrt 2 \\{m_2} \ne  - 4 + 3\sqrt 2 \end{array} \right.\]

Ta có \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = {x_1} + {x_2} \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}{x_2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\{x_1}{x_2} - 1 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = 0\\{m^2} + 8m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4 - \sqrt {19} \\m =  - 4 + \sqrt {19} \end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện ta được \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4 - \sqrt {19} \end{array} \right.\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4 - \sqrt {19} \end{array} \right.\) là các giá trị cần tìm.