Xác định \(K\) để phương trình sau có nghiệm \({x_1},\) \({x_2}\) thoả \({x_1} = 2{x_2}\).

a) \({x^2} + 6x + K = 0\); b) \({x^2} + Kx + 8 = 0\).

Dùng điều kiện \(a + b + c = 0\) hoặc \(a - b + c = 0\) để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) \((m + 1){x^2} + 3mx + 2m - 1 = 0\quad (m \ne  - 1)\).

b) \((2m - 1){x^2} - mx - m - 1 = 0\quad \left( {m \ne \frac{1}{2}} \right)\).

Cho phương trình \({x^2} - 5x + 2 = 0\). Không giải phương trình, gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức

a)\(A = x_1^2 + x_2^2.\) b)\(B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\).

c)\(C = \frac{1}{{x_1^3}} + \frac{1}{{x_2^3}}\). d)\(D = \frac{{{x_1}}}{{\sqrt {{x_2}} }} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt {{x_1}} }}\).

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m - 1 = 0{\rm{\;}}\) (1), với \(m\) là tham số.

1. Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).

2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) không phụ thuộc vào tham số \(m.\)

Cho phương trình \(:{x^2} + (m + 1)x + m = 0\) \(\left( 1 \right)\)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm. Tìm nghiệm của (1);

b) Tìm \(m\) để \(x_1^2 + x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất nếu \({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của (1).

Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) (\(m\) là tham số).

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào \(m\).

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x_1^2 + x_2^2\) (với \[{x_1}\], \[{x_2}\] là nghiệm của phương trình đã cho)