Manhattanhenge (Hình 1) là một sự kiện diễn ra khi Mặt Trời mọc hoặc khi Mặt Trời lặn nằm thẳng hàng với các tuyến phố Đông - Tây thuộc mạng lưới đường phố chính tại quận Manhattan của thành phố New York. Khi mặt trời lặn, tia sáng song song mặt đất lệch một góc khoảng \({38^0}\) so với hướng tây (Hình 2).

Giả sử mặt tiền các tòa nhà hai bên đường nằm trong 2 mặt phẳng song song cách nhau \(30m\) và vuông góc với mặt đất. Biết rằng mặt phẳng phía bắc đi qua gốc \(O\) của hệ trục \(Oxyz\), với tia \(Oz\) vuông góc với mặt đất và hướng lên trên. Phương trình mặt phẳng thứ hai có dạng \((Q):x + ay + bz + c = 0\), với \(c = \frac{m}{{\sin {n^0}}}\). Tính \(m + n\).

Do \[\left( P \right)\] song song với \[\left( \alpha  \right)\] nên \[\left( P \right)\] có phương trình: \[2x + 3y + z + m = 0\], điều kiện \[m \ne 1\].

Khi đó: \[\left( P \right)\] cắt các tia \[{\rm{O}}x\,,{\rm{O}}y\,,{\rm{O}}z\] lần lượt tại các điểm là: \[A\left( { - \frac{m}{2}\,;0\,;0} \right)\], \[B\left( {0\,; - \frac{m}{3}\,;0} \right)\], \[C\left( {0\,;0\,; - \,m} \right)\], với \[m < 0\].

Thể tích khối tứ diện \[OABC\] bằng \[6\] nên \[\frac{1}{6}OA\,.\,OB\,.\,OC = 6\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{6}.\left| { - \frac{m}{2}} \right|.\left| { - \frac{m}{3}} \right|.\left| { - \,m} \right| = 6 \Leftrightarrow  - \frac{{{m^3}}}{{36}} = 6\] (do \[m < 0\])

\[ \Leftrightarrow {m^3} =  - \,216 \Leftrightarrow m =  - \,6\] (thỏa mãn).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I\left( {1;\;2;\;4} \right)\)

\[MA{\,^2} + MB{\,^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + IA{\,^2} + MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + IB{\,^2}\]

                    \( = 2.MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} ) + IA{\,^2} + IB{\,^2} = 2.MI{\,^2} + IA{\,^2} + IB{\,^2}\)

\(MA{\,^2} + MB{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất Û \(2.MI{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất Û \(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất.

\(\left( \alpha  \right):x - 2y + z + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;\; - 2;\;1} \right)\)

Do \(M \in \left( \alpha  \right)\) nên \(M\left( {{x_0};\;{y_0};\;{z_0}} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha  \right)\\\overrightarrow {IM}  = k.\overrightarrow n \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 2{y_0} + {z_0} + 5 = 0\\{x_0} - 1 = k\\{y_0} - 2 =  - 2k\\{z_0} - 4 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{y_0} = 4\\{z_0} = 3\\k =  - 1\end{array} \right.\)