Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y - 2z - 1 = 0\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho là

Trục \(Ox\)chứa điểm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) và điểm \(B\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\).

Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\) và chứa trục \(Ox\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có cặp vectơ         chỉ phương:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\\\overrightarrow {OB}  = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\end{array}\)

Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0\,;\, - 3\,;\, - 2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng là: \(0\left( {x - 0} \right) - 3\left( {y - 0} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z = 0.\)

Phương trình  mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có dạng:  \[ax + by + cz + d = 0\].

Do \[C \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow 2a + b + d = 0 \Rightarrow d =  - 2a - b\quad \left( 1 \right)\].

Do \[D \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow a + 4b + c + d = 0 \Rightarrow c =  - a - 4b - d =  - a - 4b + 2a + b = a - 3b\quad \left( 2 \right)\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}{d_{\left( {A;\left( \alpha  \right)} \right)}} = {d_{\left( {B;\left( \alpha  \right)} \right)}}\\\frac{{\left| {1 + c.2 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {1 + 2b - 3c + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {b^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \left| {2c + d + 1} \right| = \left| {2b - 3c + d + 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2 - 6b - 2 - b + 1} \right| = \left| {2b - 3 + 9b - 2 - b + 1} \right| \Leftrightarrow \left| {1 - 7b} \right| = \left| {10b - 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 7b = 10b - 4\\1 - 7b = 4 - 10b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{{17}}{5}\quad (l)\\b = 1{\kern 1pt} \quad (tm)\end{array} \right..\end{array}\]

Với \[b = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c =  - 2\\d =  - 3\end{array} \right.\].

Phương trình mặt phẳng là: \(\;x + y - 2z - 3 = 0\).