Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua hai điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,0} \right)\); \(D\left( {1\,;\,4\,;\,1} \right)\) và cách đều 2  điểm  \(A\left( {1\,;\,0\,;\,2} \right)\) và \(B\left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\) có dạng \[x + by + cz + d = 0\] với \[b\] là một số nguyên. Tính \[5b + c + d\].

Trong hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có

            \(A(0;0;0);\;C(2;2;0);\;D\left( {0;2;0} \right);\;S(0;0;3)\).

Mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SC}  = \left( { - 2; - 2;3} \right)\\\overrightarrow {SD}  = \left( {0; - 2;3} \right)\end{array} \right.\).

Do đó, mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {0;6;4} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là: \(0\left( {x - 0} \right) + 6\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 6 = 0\).

Trục \(Ox\)chứa điểm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) và điểm \(B\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\).

Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\) và chứa trục \(Ox\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có cặp vectơ         chỉ phương:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\\\overrightarrow {OB}  = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\end{array}\)

Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0\,;\, - 3\,;\, - 2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng là: \(0\left( {x - 0} \right) - 3\left( {y - 0} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z = 0.\)