Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\), \(B\left( {5; - 2;4} \right).\)Viết phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB.\)

a) Đúng.

Đường kính \(10000\)\(m\)\[ = \]\(10\)\(km\).

Bán kính phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại là \[R = \frac{{10}}{2} = 5\] \(km\).

b) Đúng.

Mặt cầu mô tả ranh giới miền bên trong và bên ngoài vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại có:

+ Tâm \(I\left( {1\,;\,\,2\,\,;\,\,2} \right)\).

+ Bán kính \[R = 5\] \(km\).

Phương trình mặt cầu: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25\).

c) Đúng.

+ Ta có: \(A{I^2} = {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} + {\left( {6 - 2} \right)^2} = 16\)\[ < 25 = {R^2}\].

+ Vậy điểm \[A\left( {1\,;\, - 2\,;\,1} \right)\] nằm trong vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại.

d) Sai.

+ Ta có: \(M{I^2} = {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} + {\left( {7 - 2} \right)^2} = 25 = R\).

 Vậy điểm \[M\] nằm trong vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại nên bạn Mai có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

+ Ta có: \(N{I^2} = {\left( {5 - 1} \right)^2} + {\left( {5 - 2} \right)^2} + {\left( {5 - 2} \right)^2} = 34 > 25 = {R^2}\).

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

Vì \(A,B,C,D\) thuộc \(\left( S \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\9 + 6a + d = 0\\64 - 16c + d = 0\\81 + 18b + d = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{3}{2}\\b =  - \frac{9}{2}\\c = 4\\d = 0\end{array} \right.\).