Khi gắn hệ trục tọa độ \[Oxyz\](đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimet) vào một ngôi nhà 1 tầng có diện tích \[50{m^2}\], người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục \[Oz\]. Biết rằng các vị trí \[A\left( {3;4;33} \right)\] và \[B\left( {9;8;35} \right)\] lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Biết giá tiền \[1{m^3}\] bê tông tươi là 1.100.000 (đồng), tiền công đổ mái là \[100.000\,\]đồng trên \(1\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Chi phí chủ nhà phải trả để đổ được mái bằng bao nhiêu (đơn vị tính triệu đồng).

Ta có: \(M = d \cap \left( P \right)\) nên \(M\left( { - 1 + 2t\,;\, - 1 + t\,;\, - 5 + 6t} \right)\).

Suy ra \( - 1 + 2t - 1 + t - 5\left( { - 5 + 6t} \right) + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 27 = 27t \Leftrightarrow t = 1\).

a) Sai:

Phương trình của \(\left( {ABC} \right)\) có dạng \(\frac{x}{4} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 4\).

b) Đúng:

Phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

\( \Leftrightarrow 2ax + 2by + 2cz - d = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) \(\left( 1 \right)\).

Thay tọa độ các điểm \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) vào \(\left( 1 \right)\), ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - d = 0}\\{8a - d = 16}\\{8b - d = 16}\\{8c - d = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 2}\\{c = 2}\\{d = 0}\end{array}} \right.\).

Khi đó mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) có tâm \(I\left( {2\,;\,2\,;\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2} - 0}  = 2\sqrt 3 \).

Vậy phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\)là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 12\).

c) Sai:

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + z - 4 = 0\).

Khi đó \(d\left( {0\,,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).

d) Đúng:

Trong tam giác \(OAC\) hạ \(OH \bot AC\).

Theo bài ra \(\left( {OAC} \right) \bot OB \Rightarrow OH \bot BC\).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OH \bot AC}\\{OH \bot OB}\end{array}} \right.\) nên \(OH\) là đường thẳng vuông góc chung của \(AC\) và \(OB\).

Lại có \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4\,;\,0\,;\,4} \right)\) và \(\overrightarrow {OB}  = \left( {0\,;\,4\,;\,0} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {OH}  = \left[ {\overrightarrow {AC} \,,\,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {16\,;\,0\,;\,16} \right) = 16\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{u_{OH}}}  = \left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\).

Do đó phương trình đường thẳng \(OH\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\).

Nhận thấy  đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) có \(\overrightarrow u  = \left( {2\,;\,0\,;\,2} \right) = 2\overrightarrow {{u_{OH}}} \) và đều đi qua điểm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) nên đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\) trùng nhau.