Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 5z + 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 5}}{6}\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\). Điểm \(M\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) là giao điểm của \(d\) và \(P\). Tính \(S = \frac{{28}}{{25}}\left( {a + b + c} \right)\).

\[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\] có \[\left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;2;3} \right)\\R = 3\end{array} \right.\].

Ta có \[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 9 > R\] nên mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( S \right)\] không có điểm chung.

Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua tâm \[I\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\].

\[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].

Điểm \[M\] cần tìm là giao điểm của \[d\] và \[\left( S \right)\].

Tọa độ của \[M\] là nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\\{t^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 3\\y = 4\\z = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\x =  - 1\\y = 0\\z = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {3;4;2} \right)\\{M_2}\left( { - 1;0;4} \right)\end{array} \right.\]

\[d\left( {{M_1},\left( P \right)} \right) > d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right)\].

Vậy điểm \[{M_2}\left( { - 1;0;4} \right)\] là điểm cần tìm.