Cho bảng dữ liệu sau về kết quả xét nghiệm một loại bệnh:

	Dương tính	Âm tính
Bệnh	100	20
Không bệnh	30	850

Nếu một người có kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất người đó thực sự mắc bệnh là  bao nhiêu?

Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được đồng xu cân đối đồng chất” và \(B\) là biến cố: “Tung đồng xu ba lần đều xuất hiện mặt ngửa”. Khi đó ta cần tính \(P\left( {A|B} \right)\).

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\), \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {B|A} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\), \(P\left( {B|\overline A } \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{8}{{27}}\).

Theo công thức Bayes và công thức xác suất toàn phần ta có

Gọi A là biến cố dự án gặp rủi ro trong kỳ đầu tư.

\[{H_i}{\rm{ }}\left( {i = 1,2,3} \right)\] lần lượt là các biến cố dự án thuộc loại ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao

\[P{\rm{ }}\left( {{H_1}} \right) = {\rm{ }}0,2;{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_2}} \right) = 0,45;{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_3}} \right) = 0,35\] .

\[P{\rm{ }}(A\;|{H_1}) = {\rm{ }}0,05;{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_2}} \right) = {\rm{ }}0,2;{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_2}} \right) = {\rm{ }}0,4\].

\[P{\rm{ }}\left( A \right) = {\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_1}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_1}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_2}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_2}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_3}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_3}} \right) = {\rm{ }}0,24\].

\[\;P{\rm{ }}\left( {{H_1}|A} \right) = \]  \(\frac{{P{\rm{ }}\left( {{H_1}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_1}} \right)}}{{P(A)}} \approx \) \[0,04\]

\[\;P{\rm{ }}\left( {{H_2}|A} \right) = \]\(\frac{{P{\rm{ }}\left( {{H_2}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_2}} \right)}}{{P(A)}} \approx \) \[0,38\] .         

\[\;P{\rm{ }}\left( {{H_3}|A} \right) = \]\(\frac{{P{\rm{ }}\left( {{H_3}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_3}} \right)}}{{P(A)}} \approx \) \[0,58\]