Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh X nghiện thuốc lá là \[20\% \]. Tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là \[70\% \], còn tỉ lệ này đối với người không nghiện thuốc lá là \[15\% \]. Gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh X, biết rằng người này bị bệnh phổi, tính xác suất mà người này nghiện thuốc lá?

Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được đồng xu cân đối đồng chất” và \(B\) là biến cố: “Tung đồng xu ba lần đều xuất hiện mặt ngửa”. Khi đó ta cần tính \(P\left( {A|B} \right)\).

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\), \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {B|A} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\), \(P\left( {B|\overline A } \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{8}{{27}}\).

Theo công thức Bayes và công thức xác suất toàn phần ta có

Gọi \({A_i}\) là biến cố chọn được thùng loại \(i.\) (\(i = I,II,III\))

\(B\) là biến cố chọn được 10 sản phẩm trong đó có 2 lon quá hạn từ thùng được chọn ra.

Gọi số thùng loại III là \(x\) thùng ( \(x > 0\)).

Do đó số thùng loại I và loại II lần lượt là \(6x;{\rm{ 3}}x.\)

Từ đó, ta có \[P\left( {{A_1}} \right) = \frac{6}{{10}};\;P\left( {{A_2}} \right) = \frac{3}{{10}};\;P\left( {{A_3}} \right) = \frac{1}{{10}}\]

Xác suất để chọn được 2 lon quá hạn là: