Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh X nghiện thuốc lá là \[20\% \]. Tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là \[70\% \], còn tỉ lệ này đối với người không nghiện thuốc lá là \[15\% \]. Gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh X, biết rằng người này bị bệnh phổi, tính xác suất mà người này nghiện thuốc lá?

Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được đồng xu cân đối đồng chất” và \(B\) là biến cố: “Tung đồng xu ba lần đều xuất hiện mặt ngửa”. Khi đó ta cần tính \(P\left( {A|B} \right)\).

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\), \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {B|A} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\), \(P\left( {B|\overline A } \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{8}{{27}}\).

Theo công thức Bayes và công thức xác suất toàn phần ta có

a) Sai

vì B và C tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên \[P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {A|C} \right)\]

b) Đúng

Gọi A là biến cố “Viên đạn trúng đích”.

B là biến cố “ Xạ thủ loại I bắn”.

C là biến cố “ Xạ thủ loại II bắn”.

Ta có: \[P\left( B \right) = \frac{2}{{10}} = 0,2;\quad P\left( {A|B} \right) = 0.9;\quad P\left( C \right) = \frac{8}{{10}} = 0,8;\quad P\left( {A|C} \right) = 0.7\]

B và C tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên \[P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {A|C} \right)\]

   \[ = 0.2.0.9 + 0.8.0.7 = 0.74\]

c) Sai

vì \[{E_i}\] tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên

\[P\left( E \right) = P\left( {{E_o}} \right).P\left( {E|{E_o}} \right) + P\left( {{E_1}} \right).P\left( {E|{E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right).P\left( {E|{E_2}} \right)\]

d) Sai

Gọi E là biến cố “ Cả hai viên đạn đều bắn trúng đích”  \[{E_i}\] là biến cố “chọn được i xạ thủ loại I”

Ta có:  \[P\left( {{E_0}} \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{28}}{{45}};\;P\left( {E|{E_o}} \right) = 0,7.0,7 = 0,49\]

             \[P\left( {{E_1}} \right) = \frac{{C_2^1C_8^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{{16}}{{45}};\;P\left( {E|{E_1}} \right) = 0,9.0,7 = 0,63\]

             \[P\left( {{E_2}} \right) = \frac{{C_2^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{{45}};\;P\left( {E|{E_2}} \right) = 0,9.0,9 = 0,81\]

Vì \[{E_o},{\kern 1pt} {E_1},\;{E_2}\] tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên ta có Xác suất để cả hai viên đạn đó trúng đích là:

\[P\left( E \right) = P\left( {{E_o}} \right).P\left( {E|{E_o}} \right) + P\left( {{E_1}} \right).P\left( {E|{E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right).P\left( {E|{E_2}} \right)\]