Cho \(P = \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}}  + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}} \) và \(Q = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^3}} \) với \(x,y\) là các số thực khác 0 . So sánh \(P\) và \(Q\)

Ta có \({x^2},{y^2},\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}},\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}\) là những số thực dương với mọi \(x,y \ne 0\).

\(\begin{array}{l}Q = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^3}}  = 2\sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} \\ = \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}}  + \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} \\ > \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}}  + \sqrt {3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}}  > \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}}  + \sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}}  = P.\\\end{array}\)