Một cây cầu bắc qua sông có dạng cung \(OA\) của đồ thị hàm số \(y = 4,8\sin \frac{x}{9}\) và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như hình vẽ. Trục \(Ox\) nằm trên mặt nước sông.

Đáp án: \[1,5\].

Thể tích nước sau 2 phút là \[4,75.2 = 9,5\;\left( {lit} \right) = 9,5\;\left( {d{m^3}} \right)\].

Vì lúc đầu chậu không có nước nên phần nước bơm vào chiếm chỗ bằng một khối chóp cụt tứ giác đều với cạnh đáy lần lượt là \[A'D' = 2\;\left( {dm} \right)\], \[{A_1}{D_1} = x\;\left( {dm} \right)\] và chiều cao \[A'K = h\;\left( {dm} \right)\].

Có \[AC = 4\sqrt 2 \;\left( {dm} \right),\;A'C' = 2\sqrt 2 \;\left( {dm} \right)\], suy ra \[AH = \frac{{AC - A'C'}}{2} = \frac{{4\sqrt 2 - 2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \;\left( {dm} \right)\]

Và \[{A_1}{C_1} = x\sqrt 2 \;\left( {dm} \right)\], suy ra \[{A_1}K = \frac{{{A_1}{C_1} - A'C'}}{2} = \frac{{x\sqrt 2 - 2\sqrt 2 }}{2}\;\left( {dm} \right)\].

Mặt khác, trong tam giác \[A'AH\] theo Ta-lét có \[\frac{{{A_1}K}}{{AH}} = \frac{{A'K}}{{A'H}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{x\sqrt 2 - 2\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{h}{3} \Leftrightarrow h = 3.\frac{{x - 2}}{2}\].

Có \[{V_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.A'B'C'D'}} = \frac{1}{3}h.\left( {{x^2} + {2^2} + \sqrt {{x^2}{{.2}^2}} } \right) = 9,5\]\[ \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{2}.\left( {{x^2} + 4 + 2x} \right) = 9,5\]\[ \Leftrightarrow x = 3\].

Vậy \[h = 3.\frac{{3 - 2}}{2} = 1,5\].

Đáp số: \(0,66\).

Số cách chọn của Hải là: \(n(H) = C_9^3 = 84\).

Số cách chọn của Sơn là: \(n(S) = C_8^3 = 56\).

Do đó: \(n(\Omega ) = 84 \times 56 = 4704\).

Ta thấy nếu số của Hải lớn hơn số của Sơn thì xảy ra trong hai trường hợp sau:

*Trường hợp 1: Hải chọn được quả bóng số 9

Nếu Hải chọn được bóng số 9, số của Hải chắc chắn bắt đầu bằng chữ số 9 (dạng 9bc)

Do đó, hễ Hải có số 9 là Hải chắc chắn thắng.

Số cách Hải chọn có số 9 là: \(1 \times C_8^2 = 28\) cách.

Với mỗi cách này, Sơn có thể chọn bất kỳ trong 56 cách.

Số kết quả thuận lợi ở TH1: \(28 \times 56 = 1568\).

*Trường hợp 2: Hải không chọn được quả bóng số 9

Lúc này, cả Hải và Sơn đều chọn 3 bóng từ cùng một tập số \(\{ 1,2, \ldots ,8\} \).

Số cặp kết quả trong trường hợp này là: \(C_8^3 \times C_8^3 = 56 \times 56 = 3136\).

Vì tập số của hai bạn là như nhau, nên theo tính đối xứng, số trường hợp Hải thắng (\(X > Y\)) sẽ bằng số trường hợp Sơn thắng (\(X < Y\)).

Số trường hợp hòa (\(X = Y\)) xảy ra khi hai bạn chọn trùng bộ 3 quả bóng: có 56 trường hợp.

Số kết quả Hải thắng (Sơn thua) ở TH2 là: \({n_2} = \frac{{3136 - 56}}{2} = 1540\)

Tổng số trường hợp thuận lợi để Sơn thua là: \(n(A) = 1568 + 1540 = 3108\)

Xác suất để Sơn thua là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{3108}}{{4704}} \approx 0,66\).