Ba lớp 7A; 7B; 7C đã đóng góp một số sách để hưởng ứng việc xây dựng mỗi lớp có một thư viện riêng. Biết số sách góp được của mỗi lớp 7A; 7B; 7C tỉ lệ thuận với \(6;\,\,4;\,\,5\) và tổng số sách góp được của lớp 7A và lớp 7B hơn số sách của lớp 7C là 40 quyển. Tính số sách mỗi lớp góp được.

a) Ta có: \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) (do \(BD;\,\,CE\) là đường trung tuyến).

Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE\) mà \(BD = CE\) nên \(BG = CG\).

Lại có: \(BD = BG + GD\); \(CE = CG + GE\) nên \(GD = GE\).

Xét tam giác \(EGB\) và tam giác \(DGC\) có:

\(BG = GC\) (chứng minh trên)

\(\widehat {BGE} = \widehat {CGD}\) (hai góc đối đỉnh)

\(GD = GE\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta EGB = \Delta DGC\) (c.g.c)

Suy ra, \(EB = CD\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(E\) là trung điểm của \(AB\); \(D\) là trung điểm của \(AC\).

Do đó, \(AB = AC\,\,\left( {AB = 2EB;\,\,AC = 2CD} \right)\).

Kéo dài \(AG\) cắt \(BC\) tại \(H\).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AH\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) (ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy).

Do đó, \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BH = HC\).

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:

\(AB = AC\) (chứng minh trên)

\(BH = HC\) (chứng minh trên)

Cạnh \(AH\) chung

Do đó, \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (c.c.c)

Suy ra, \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 180^\circ \), do đó \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).

Suy ra \(AH \bot BC\) hay \(AG \bot BC\) (đpcm)

b) Xét tam giác \(AMB\) có: \(MA + MB > AB\) (bất đẳng thức tam giác)     (1)

Xét tam giác \(AMC\) có: \(AM + MC > AC\) (bất đẳng thức tam giác)        (2)

Xét tam giác \(BMC\) có: \(MB + MC > BC\) (bất đẳng thức tam giác)        (3)

Cộng vế theo vế (1); (2); (3) ta được:

\(MA + MB + MA + MC + MB + MC > AB + AC + BC\)

Suy ra, \(2MA + 2MB + 2MC > AB + AC + BC\)

Hay \(2\left( {MA + MB + MC} \right) > AB + AC + BC\).

Do đó \(MA + MB + MC > \frac{{AB + AC + BC}}{2}\) (đpcm)