Giả sử chi phí \(C\) (USD) để sản xuất \(Y\) máy tính là \(C\left( Y \right) = {Y^2} + 20Y + 300\). Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ \(Y\) sản phẩm lên \(Y + 1\) sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số \(C'\left( Y \right)\). Nếu tăng số lượng sản phẩm từ 100 lên 101 thì chi phí tăng theo là bao nhiêu?

Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1\)

Ta có \({f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 3) = 3\)

Với bất kì \({x_0}{\rm{, ta c\'o : }}\begin{array}{*{20}{l}}{{f^\prime }\left( {{x_0}} \right)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2{x^3} - 2x_0^3}}{{x - {x_0}}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x \cdot {x_0} + x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\left( {{x^2} + x \cdot {x_0} + x_0^2} \right)}}{1} = 6x_0^2.}\end{array}\)

Vậy \({f^\prime }(x) = {\left( {2{x^3}} \right)^\prime } = 6{x^2}\) trên \(\mathbb{R}\).