Giả sử chi phí \(C\) (USD) để sản xuất \(Y\) máy tính là \(C\left( Y \right) = {Y^2} + 20Y + 300\). Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ \(Y\) sản phẩm lên \(Y + 1\) sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số \(C'\left( Y \right)\). Nếu tăng số lượng sản phẩm từ 100 lên 101 thì chi phí tăng theo là bao nhiêu?

Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1\)

Ta có \({f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 3) = 3\)

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, sao cho đỉnh cầu là gốc tọa độ và mặt cắt của cây cầu có hình dạng parabol \(y =  - a{x^2}\) (với \(a\) là hằng số dương).

Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol bằng \(k = {y^\prime }\left( {{x_0}} \right) =  - 2a{x_0}, - 200 \le {x_0} \le 200\).

Hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu (độ dốc dương) là \(|k| = 2a|x| \le 400a\).

Vì độ dốc của mặt cầu không vượt quá ${10}^{°}$ nên ta có:

$400a\le \tan {10}^{°}\iff a\le \frac{4,408174518}{10000}.$

Chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là đoạn \(OI\), cũng chính là độ lớn của tung độ điểm \(B\) khi a đạt giá trị lớn nhất.

Do đó, $OI=\left|-a\cdot {200}^2\right|=17,6( m)$.

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là \(17,6\;m\).