Cho hàm số \(y = {x^2} + 3x + 1\) có đồ thị \((C)\). Viết được phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại giao điểm của \((C)\) với trục tung. Khi đó:

Gọi \(\Delta Y\)là số gia của biến số tại điểm \(Y\)

Ta có \[\Delta C = C\left( {Y + \Delta Y} \right) - C\left( Y \right) = 2Y.\Delta Y + {\left( {\Delta Y} \right)^2} + 20\Delta Y\]

\( \Rightarrow \frac{{\Delta C}}{{\Delta Y}} = \frac{{2Y.\Delta Y + {{\left( {\Delta Y} \right)}^2} + 20\Delta Y}}{{\Delta Y}} = 2Y + \Delta Y + 20\)

\( \Rightarrow C'\left( Y \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Y \to 0} \frac{{\Delta C}}{{\Delta Y}} = 2Y + 20\).

\( \Rightarrow C'\left( {100} \right) = 2.100 + 20 = 220\).

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, sao cho đỉnh cầu là gốc tọa độ và mặt cắt của cây cầu có hình dạng parabol \(y =  - a{x^2}\) (với \(a\) là hằng số dương).

Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol bằng \(k = {y^\prime }\left( {{x_0}} \right) =  - 2a{x_0}, - 200 \le {x_0} \le 200\).

Hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu (độ dốc dương) là \(|k| = 2a|x| \le 400a\).

Vì độ dốc của mặt cầu không vượt quá ${10}^{°}$ nên ta có:

$400a\le \tan {10}^{°}\iff a\le \frac{4,408174518}{10000}.$

Chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là đoạn \(OI\), cũng chính là độ lớn của tung độ điểm \(B\) khi a đạt giá trị lớn nhất.

Do đó, $OI=\left|-a\cdot {200}^2\right|=17,6( m)$.

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là \(17,6\;m\).