Một vật chuyển động theo quy luật \(s\left( t \right) = {t^3} - 2{t^2} + 30t\) với \(t\)(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(s\)(mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng \(5\) giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động vận tốc nhỏ nhất của vật là bao nhiêu?
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Đạo hàm (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \[\Delta t\] là số gia của biến số tại \[{t_0}\]
\[\Delta s = {\left( {{t_0} + \Delta t} \right)^3} - 2{\left( {{t_0} + \Delta t} \right)^2} + 30\left( {{t_0} + \Delta t} \right) - \left( {{t_0}^3 - 2{t_0}^2 + 30{t_0}} \right)\]
\[ = \left( {{t_0}^3 + 3{t_0}^2\Delta t + 3{t_0}{{\left( {\Delta t} \right)}^2} + {{\left( {\Delta t} \right)}^3}} \right) - 2\left( {{t_0}^2 + 2{t_0}\Delta t + {{\left( {\Delta t} \right)}^2}} \right) + 30\Delta t - \left( {{t_0}^3 - 2{t_0}^2} \right)\].
\[\,\,\,\,\, = 3{t_0}^2\Delta t + 3{t_0}{\left( {\Delta t} \right)^2} + {\left( {\Delta t} \right)^3} + 30\Delta t - 4{t_0}\Delta t - 2{\left( {\Delta t} \right)^2}\]
\[\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}}\, = 3{t_0}^2 + 3{t_0}\Delta t + {\left( {\Delta t} \right)^2} + 30 - 4{t_0} - 2\Delta t\].
\[v({t_0}) = s'({t_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {3{t_0}^2 + 3{t_0}\Delta t + {{\left( {\Delta t} \right)}^2} + 30 - 4{t_0} - 2\Delta t} \right) = 3{t_0}^2\, - 4{t_0}\, + 30(m/s).\]
Vận tốc của vật là: \(v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right) = 3{t_0}^2\, - 4{t_0} + 30 = 3{\left( {{t_0} - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{{86}}{3} \ge \frac{{86}}{3}\), dấu bằng khi \[{t_0} = \frac{2}{3}\]
Vận tốc nhỏ nhất của vật là \(\frac{{86}}{3}\,\,m/s\).Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến bằng \(3.\)
b) Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\)
c) Phương trình tiếp tuyến cắt đường thẳng \(y = 2x + 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(0\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1\)
Ta có \({f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 3) = 3\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 3x + 1\)Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi \(\Delta Y\)là số gia của biến số tại điểm \(Y\)
Ta có \[\Delta C = C\left( {Y + \Delta Y} \right) - C\left( Y \right) = 2Y.\Delta Y + {\left( {\Delta Y} \right)^2} + 20\Delta Y\]
\( \Rightarrow \frac{{\Delta C}}{{\Delta Y}} = \frac{{2Y.\Delta Y + {{\left( {\Delta Y} \right)}^2} + 20\Delta Y}}{{\Delta Y}} = 2Y + \Delta Y + 20\)
\( \Rightarrow C'\left( Y \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Y \to 0} \frac{{\Delta C}}{{\Delta Y}} = 2Y + 20\).
\( \Rightarrow C'\left( {100} \right) = 2.100 + 20 = 220\).
Nếu tăng số lượng sản phẩm từ 100 lên 101 thì chi phí tăng theo là 220 (USD).Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập