Một vật chuyển động theo quy luật \(s\left( t \right) = {t^3} - 2{t^2} + 30t\) với \(t\)(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(s\)(mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng \(5\) giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động vận tốc nhỏ nhất của vật là bao nhiêu?

Gọi \[\Delta t\] là số gia của biến số tại \[{t_0}\]

\[\Delta s = {\left( {{t_0} + \Delta t} \right)^3} - 2{\left( {{t_0} + \Delta t} \right)^2} + 30\left( {{t_0} + \Delta t} \right) - \left( {{t_0}^3 - 2{t_0}^2 + 30{t_0}} \right)\]

\[ = \left( {{t_0}^3 + 3{t_0}^2\Delta t + 3{t_0}{{\left( {\Delta t} \right)}^2} + {{\left( {\Delta t} \right)}^3}} \right) - 2\left( {{t_0}^2 + 2{t_0}\Delta t + {{\left( {\Delta t} \right)}^2}} \right) + 30\Delta t - \left( {{t_0}^3 - 2{t_0}^2} \right)\].

\[\,\,\,\,\, = 3{t_0}^2\Delta t + 3{t_0}{\left( {\Delta t} \right)^2} + {\left( {\Delta t} \right)^3} + 30\Delta t - 4{t_0}\Delta t - 2{\left( {\Delta t} \right)^2}\]

\[\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}}\, = 3{t_0}^2 + 3{t_0}\Delta t + {\left( {\Delta t} \right)^2} + 30 - 4{t_0} - 2\Delta t\].

\[v({t_0}) = s'({t_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {3{t_0}^2 + 3{t_0}\Delta t + {{\left( {\Delta t} \right)}^2} + 30 - 4{t_0} - 2\Delta t} \right) = 3{t_0}^2\, - 4{t_0}\, + 30(m/s).\]

Vận tốc của vật là: \(v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right) = 3{t_0}^2\, - 4{t_0} + 30 = 3{\left( {{t_0} - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{{86}}{3} \ge \frac{{86}}{3}\), dấu bằng khi \[{t_0} = \frac{2}{3}\]