Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất \(7,5\% /\) năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Tính sau thời gian ngắn nhất (theo năm) để số tiền người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền đã gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

Ta xác định hàm vận tốc và hàm gia tốc của con lắc:

\(\begin{array}{l}v\left( t \right) = x'\left( t \right) =  - 3\pi \sin \pi t\\a\left( t \right) = x''\left( t \right) =  - 3{\pi ^2}\cos \pi t\end{array}\)

Thời điểm \(t = \frac{4}{3}\) ta có

Gia tốc tức thời:\(a\left( {\frac{4}{3}} \right) =  - 3{\pi ^2}\cos \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{3{\pi ^2}}}{2} > 0\), do đó con lắc đang di chuyển nhanh dần.

Ta có: \({s^\prime }(t) = 3{t^2} - 6t + 7\) và \({s^{\prime \prime }}(t) = 6t - 6\).

a) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) là: \(v(2) = {s^\prime }(2) = {3.2^2} - 6.2 + 7 = 7(\;m/s)\).

b) Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) là: \(a(2) = {v^\prime }(2) = {s^{\prime \prime }}(2) = 6.2 - 6 = 6\left( {\;m/{s^2}} \right)\).

c) Vận tốc của chuyển động bằng \(16\;m/{s^2}\) tại thời điểm \(t\) nghĩa là:

\(v(t) = {s^\prime }(t) = 16{\rm{ }} \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t + 7 = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3{\rm{ (tho\^u a ma\~o n) }}}\\{t =  - 1{\rm{ (loa\"i i) }}}\end{array}} \right.\)

Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 3\) là: \(a(3) = {v^\prime }(3) = {s^{\prime \prime }}(3) = 6.3 - 6 = 12\left( {\;m/{s^2}} \right)\).

d) Vận tốc của chuyển động có phương trình \(v(t) = 3{t^2} - 6t + 7\) là một parabol, có đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) \Rightarrow S(1;4)\) và hệ số \(a = 3 > 0\) nên hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại \(t = 1\).