Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = AC,\widehat {SAC} = \widehat {SAB}\). Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).

\(AN,BN\) lần lượt là các đường trung tuyến của hai tam giác đều \(\Delta ACD\) và \(\Delta BCD\) nên \(NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó \(\Delta NAB\) cân tại \(N\) và \(MN \bot AB\).

Xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\). Ta có:

\(MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Đặt \(\overrightarrow {AB}  = a,\overrightarrow {AC}  = b,\overrightarrow {AD}  = c\).

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} ) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  =  - \frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b + \frac{1}{2}\vec c\)

\(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  =  - \vec a + \vec b\)

\(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AM}  = ( - \vec a + \vec b)\left( { - \frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b + \frac{1}{2}\vec c} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\vec a}^2} - \vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c - \vec a \cdot \vec b + {{\vec b}^2} + \vec b \cdot \vec c} \right)\)

Do $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=a^2\cdot \cos {60}^{°}=\frac{a^2}{2}$

Suy ra \(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} + {{\vec a}^2} + \frac{1}{2}{{\vec a}^2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(MN\) và \(BC\).

$\text{ Ta có }\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{BC}|}{\left|\overrightarrow{MN}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|}=\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{. Suy ra }\phi ={45}^{°}\text{. }$