Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có đáy là tam giác giác vuông cân tại \(A\) với cạnh huyền \(BC = 2a\). Biết \({A^\prime }H \bot (ABC)\) với \(H\) là trung điểm \(BC\). Khi đó:

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot {A^\prime }H\left( {{\rm{do }}{A^\prime }H \bot (ABC)} \right)}\\{BC \bot AH({\rm{do }}\Delta ABC{\rm{ vuo\^a ng ta\"i i }}A,H{\rm{ la{\o} trung \~n ie{\aa}m }}BC)}\end{array}} \right.\]

\( \Rightarrow BC \bot \left( {A{A^\prime }H} \right)\).

Mặt khác \({B^\prime }{C^\prime }//BC\) nên \({B^\prime }{C^\prime } \bot \left( {A{A^\prime }H} \right) \Rightarrow {B^\prime }{C^\prime } \bot A{A^\prime }\).

Vì \({A^\prime }H \bot (ABC)\) nên hình chiếu của \(A{A^\prime }\) trên \((ABC)\) là \(AH\), hình chiếu của \({A^\prime }B\) trên \((ABC)\) là \(BH\).

Vậy hình chiếu của tam giác \({A^\prime }AB\) trên mặt phẳng \((ABC)\) chính là tam giác \(ABH\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(BC = 2a \Rightarrow AB = AC = a\sqrt 2 \).

Diện tích tam giác \(ABH\) là:

\({S_{\Delta ABH}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{4}{(a\sqrt 2 )^2} = \frac{{{a^2}}}{2}.\)

Gọi \(K\) là trung điểm \({B^\prime }{C^\prime }\). Dễ thấy \(\left( {{A^\prime }AH} \right) \equiv \left( {AHK{A^\prime }} \right)\).

Mà \({B^\prime }{C^\prime } \bot \left( {A{A^\prime }H} \right)\) nên \({B^\prime }{C^\prime } \bot \left( {AHK{A^\prime }} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {AHK{A^\prime }} \right)\), kẻ \({A^\prime }I \bot HK\) tại \(I\). (1)

Vì \({B^\prime }{C^\prime } \bot \left( {AHK{A^\prime }} \right),{A^\prime }I \subset \left( {AHK{A^\prime }} \right)\) nên \({A^\prime }I \bot {B^\prime }{C^\prime }\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \({A^\prime }I \bot \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\) hay \(I\) là hình chiếu của \({A^\prime }\) trên mặt phẳng \(\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\).

Tam giác \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) vuông cân tại \({A^\prime }\) nên \({A^\prime }K = \frac{{{B^\prime }{C^\prime }}}{2} = a\).

Tam giác \({A^\prime }HK\) vuông tại \({A^\prime }\) có đường cao \({A^\prime }I\) nên ta có:

\(\frac{1}{{{A^\prime }{I^2}}} = \frac{1}{{{A^\prime }{H^2}}} + \frac{1}{{{A^\prime }{K^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{A^\prime }{H^2}}} = \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} \Rightarrow {A^\prime }H = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)