Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ, ba lớp 7A, 7B, 7C có 130 học sinh tham gia. Mỗi học sinh lớp 7A góp 2 kg, mỗi học sinh lớp 7B góp 3 kg, học sinh lớp 7C góp 4 kg. Tính số học sinh tham gia phong trào của mỗi lớp đó, biết số giấy thu được của ba lớp đó bằng nhau.

a) Tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên ta có: \(BA = AC\).

Và: \(\widehat {BAH} + \widehat {KAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).

Tam giác \(\Delta KAC\) vuông tại \(K\) nên ta có:

\(\widehat {KAC} + \widehat {KCA} = 180^\circ  - \widehat {AKC} = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\) (cùng phụ với \(\widehat {KAC}\))

Xét hai tam giác vuông \(\Delta BAH\) và \(\Delta ACK\) có:

\(BA = AC\) (cmt)

\(\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\) (cmt)

Do đó \(\Delta BAH = \Delta ACK\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(BH = AK\) (hai cạnh tương ứng).

b) Tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(M\) là trung điểm nên đường trung tuyến \(AM\) cũng là đường cao.

Xét tam giác \(\Delta ADC\) có \(CK\) và \(AM\) là hai đường cao cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) là trực tâm của tam giác \(\Delta ADC\).

Nên \(DI\) cũng là đường cao của tam giác \(\Delta ADC\).

Suy ra \(DI \bot AC\) (đpcm).

c) \(\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\) (cmt)

Tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến cũng là đường phân giác.

Khi đó \(\widehat {BAH} + \widehat {HAM} = \widehat {BAM} = 45^\circ \) và \(\widehat {ACK} + \widehat {KCM} = \widehat {ACM} = 45^\circ \).

Suy ra \[\widehat {HAM} = \widehat {KCM}\]

\(\Delta BAH = \Delta ACK\) (cmt)

Suy ra \(AH = CK\) (hai cạnh tương ứng).

Tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên ta có: \(AM = CM = \frac{{BC}}{2}.\)

• Xét hai tam giác vuông \(\Delta AMH\) và \(\Delta CMK\) có:

\(AM = CM\) (cmt)

\[\widehat {HAM} = \widehat {KCM}\] (cmt)

\(AH = CK\) (cmt)

Do đó \(\Delta AMH = \Delta CMK\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AHM} = \widehat {CKM}\) (hai góc tương ứng); \(MH = MK\) (hai cạnh tương ứng).

Suy ra tam giác \(\Delta MHK\) cân tại \(M\).

Do đó \(\widehat {MHK} = \widehat {MKH}\).

• Ta có: \(\widehat {CKH} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {CKM} + \widehat {MKH} = 90^\circ \)

\(\widehat {AHM} + \widehat {MHK} = 90^\circ \)

\(\widehat {KHM} + \widehat {MHK} = 90^\circ \)

Từ đó \(2\,.\,\widehat {MHK} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {MHK} = 45^\circ \)

Do đó \(\widehat {MKH} = 45^\circ \)

• Xét góc \(\widehat {CKH}\) có \(\widehat {CKH} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {CKM} + \widehat {MKH} = 90^\circ \) hay\(\widehat {CKM} + 45^\circ  = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {CKM} = 45^\circ \) do đó \(\widehat {MKH} = \widehat {CKM}\).

Vậy \(KM\) là đường phân giác của \(\widehat {HKC}\) (đpcm).

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{a}{7} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{{b + c}}{{3 + 4}} = \frac{{35}}{7} = 5\].

Do đó \[\frac{a}{7} = 5 \Rightarrow a = 5\,\,.\,\,7 = 35\];

\[\frac{b}{3} = 5 \Rightarrow b = 5\,\,.\,\,3 = 15\];

\[\frac{c}{4} = 5 \Rightarrow c = 5\,\,.\,\,4 = 20\].

Do đó \(a = 35;\,\,b = 15;\,\,c = 20\).

b) Ta có \(\frac{a}{3} = \frac{c}{5};\,\,7b = 5c\) hay \(\frac{a}{3} = \frac{c}{5};\,\,\frac{b}{5} = \frac{c}{7}\).

Do đó \(\frac{a}{{21}} = \frac{c}{{35}};\,\,\frac{b}{{25}} = \frac{c}{{35}}\) suy ra \(\frac{a}{{21}} = \frac{b}{{25}} = \frac{c}{{35}}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{{21}} = \frac{b}{{25}} = \frac{c}{{35}} = \frac{{a - b + c}}{{21 - 25 + 35}} = \frac{{62}}{{31}} = 2\).

Suy ra \(a = 2\,\,.\,\,21 = 42;\;\;b = 2\,\,.\,\,25 = 50;\,\,c = 2\,\,.\,\,35 = 70\).

Vậy \(a = 42;\;\;b = 50;\,\,c = 70\).