Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng \(AB = AC = a,AD = a\sqrt 3 \).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot AB}\\{AC \bot AD}\end{array} \Rightarrow AC \bot (ABD)} \right.\).

Khi đó \(AD\) là hình chiếu của \(CD\) trên \((ABD)\).

Ta có: \((CD,(ABD)) = (CD,AD) = \widehat {CDA}\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\) có: $\tan \widehat{CDA}=\frac{AC}{AD}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{CDA}={30}^{°}$

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) thì \(AM \bot BC\) (do \(AB = AC\)).

\(\begin{array}{l}{\rm{ V\`i  }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD \bot AB}\\{AD \bot AC}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow AD \bot (ABC)\\ \Rightarrow AD \bot BC.\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AD}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow BC \bot (ADM)\)

\( \Rightarrow BC \bot DM{\rm{.}}\)

Khi đó: \((AM,DM) = \widehat {AMD}\) là góc phẳng nhị diện \([A,BC,D]\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên đường cao \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(ADM\) vuông tại \(A\) có:

$\tan \widehat{AMD}=\frac{AD}{AM}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}\Rightarrow \widehat{AMD}\approx 67,{79}^{°}$

Vì \(AB \bot AC,AB \bot AD\) nên \((AC,AD) = \widehat {CAD}\) là góc phẳng nhị diện \([C,AB,D]\) và $\widehat{CAD}={90}^{°}$