Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại $A,\widehat{ABC}={60}^{°}$, tam giác \(SBC\) là tam giác đều có bằng cạnh \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi \(\varphi \) là góc phẳng nhị diện \([S,AC,B]\). Tính tan \(\varphi \)?

Một cái lều có dạng hình lăng trụ \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có các cạnh bên vuông góc với hai mặt phẳng đáy.

Cho biết \(AB = AC = 2,4\;m;BC = 2\;m;A{A^\prime } = 3\;m\). Tìm góc giữa hai đường thẳng \(A{A^\prime }\) và \(BC;{A^\prime }{B^\prime }\) và \(AC\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a\), góc $ABC={60}^{°}$. Tam giác \(SAC\) đều, tam giác \(SBD\) cân tại \(S\). Khi đó:

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \[a\sqrt 3 \]. Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABC\), \({d_1}\) là khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \({d_2}\) là khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một cây cầu vượt dành cho người đi bộ (như trong hình dưới đây), bắc ngang qua đường xe chạy. Mặt cầu, phần bắc ngang qua đường xe chạy nằm trên mặt phẳng song song với mặt đường. Phần chuyển tiếp từ đường tới mặt cầu gồm các bậc thang, chia làm hai nhịp. Nhịp thứ nhất tiếp xúc với mặt đường, có chiều dài cả nhịp là \[AB = 6\,\,{\rm{m}}\], nằm trên mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\]chứa \[AB\] và nghiêng so với mặt đường một góc \[20^\circ \]. \[AA'\]là chân của bậc thang đầu tiên thuộc nhịp thứ nhất, \[AA'\] nằm trên mặt đường và vuông góc với\[AB\]. Nhịp thứ hai nối lên mặt cầu, có chiều dài nhịp là \[CD = 3\,\,{\rm{m}}\], nằm trên mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] chứa \[CD\] và nghiêng so với mặt đường một góc \[30^\circ \]. Điểm \[D\] nằm trên mặt cầu. Phần chiếu nghỉ nối giữa hai nhịp bậc thang, có mép ngoài là đoạn \[BC\], nằm trên mặt phẳng chứa \[BC\] và song song với mặt đường. Tính khoảng cách từ mặt cầu (bắc ngang qua đường xe lưu thông) tới mặt đường (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).V