Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại $A,\widehat{ABC}={60}^{°}$, tam giác \(SBC\) là tam giác đều có bằng cạnh \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi \(\varphi \) là góc phẳng nhị diện \([S,AC,B]\). Tính tan \(\varphi \)?

Kẽ \({\rm{B'H}} \bot BD,{\rm{B'K}} \bot BC\)

Ta có: \({\rm{OO' = }}30cm;BD = 50\sqrt 2 cm;BO = 25\sqrt 2 cm.\)

\(B'D' = 30\sqrt 2 cm;B'O' = 15\sqrt 2 cm.\)

\({\rm{OO'B'H}}\) là hình chữ nhật nên \({\rm{OH = B'O' = 15}}\sqrt 2 cm\)

\({\rm{OO' = B'H = 30}}cm\); \({\rm{BH = BO - OH = 10}}\sqrt 2 cm\)

Tam giác \({\rm{BB'H}}\) vuông tại \({\rm{H}}\)có \({\rm{BB' = }}\sqrt {B'{H^2} + B{H^2}} {\rm{ = 10}}\sqrt {11} cm\)

\({\rm{BB'C'C}}\) là hình thang cân nên \({\rm{BK = }}\frac{{BC - B'C'}}{2}{\rm{ = 10}}cm\)

Tam giác \({\rm{BB'K}}\) vuông tại \(K\)có \({\rm{KB' = }}\sqrt {B'{B^2} - B{K^2}} {\rm{ = 10}}\sqrt {10} cm\)

Diện tích hình thang \({\rm{BB'C'C}}\) là \({{\rm{S}}_{BB'C'C}}{\rm{ = }}\frac{1}{2}\left( {BC + B'C'} \right)B'K = \frac{1}{2}\left( {50 + 30} \right){\rm{10}}\sqrt {10}  = 400\sqrt {10} c{m^2}\)

Diện tích alu cần dùng để làm sọt là:

\({\rm{S = 4}}{{\rm{S}}_{BB'C'C}}{\rm{ + }}{{\rm{S}}_{ABCD}}{\rm{ = 4}}.400\sqrt {10}  + {50^2} = 1600\sqrt {10}  + 2500 = 7559,644c{m^2} = 0,7559644{m^2}\)

Chi phí cần trả là: \(0,7559644\)x \(2000000 = 151192,88\) đồng