Một cây cầu vượt dành cho người đi bộ (như trong hình dưới đây), bắc ngang qua đường xe chạy. Mặt cầu, phần bắc ngang qua đường xe chạy nằm trên mặt phẳng song song với mặt đường. Phần chuyển tiếp từ đường tới mặt cầu gồm các bậc thang, chia làm hai nhịp. Nhịp thứ nhất tiếp xúc với mặt đường, có chiều dài cả nhịp là \[AB = 6\,\,{\rm{m}}\], nằm trên mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\]chứa \[AB\] và nghiêng so với mặt đường một góc \[20^\circ \]. \[AA'\]là chân của bậc thang đầu tiên thuộc nhịp thứ nhất, \[AA'\] nằm trên mặt đường và vuông góc với\[AB\]. Nhịp thứ hai nối lên mặt cầu, có chiều dài nhịp là \[CD = 3\,\,{\rm{m}}\], nằm trên mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] chứa \[CD\] và nghiêng so với mặt đường một góc \[30^\circ \]. Điểm \[D\] nằm trên mặt cầu. Phần chiếu nghỉ nối giữa hai nhịp bậc thang, có mép ngoài là đoạn \[BC\], nằm trên mặt phẳng chứa \[BC\] và song song với mặt đường. Tính khoảng cách từ mặt cầu (bắc ngang qua đường xe lưu thông) tới mặt đường (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).V

Gọi mặt đường là mặt phẳng \[\left( P \right)\], mặt cầu là mặt phẳng \[\left( Q \right)\], mặt phẳng chiếu nghỉ nối giữa hai nhịp bậc thang là mặt phẳng \[\left( R \right)\]. Ta có \[\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right){\rm{//}}\left( R \right)\].

Gọi \[K,{\rm{ }}H\] lần lượt là hình chiếu của \[B,D\] trên mặt phẳng \[\left( P \right)\]; \[E\] là hình chiếu của \[D\] trên \[\left( R \right)\]. Dễ thấy \[D,H,E\] thẳng hàng (như hình).

Ta có: \[\left( \alpha  \right) \cap \left( P \right) = AA'\]; \[\left( \alpha  \right) \equiv \left( {AA'B} \right)\]; \[\left( P \right) \equiv \left( {AA'K} \right)\].

\[BK \bot \left( P \right) \Rightarrow BK \bot AA'\]. Mà \[AB \bot AA'\]. Nên \[\left( {ABK} \right) \bot AA'\].

Suy ra \[\left( {\left( \alpha  \right),\left( P \right)} \right) = \widehat {BAK} = 20^\circ \].

Trong tam giác vuông \[ABK\]có: \[BK = AB.\sin \widehat {BAK} = 6.\sin 20^\circ  \approx 2,052{\rm{ }}\left( m \right)\]

Tương tự trên ta có:

Do \[\left( P \right){\rm{//}}\left( R \right)\] nên \[\left( {\left( \beta  \right),\left( P \right)} \right) = \left( {\left( \beta  \right),\left( R \right)} \right) = \widehat {DCE} = 30^\circ \].

Trong tam giác vuông \[CDE\]có: \[DE = CD.\sin \widehat {DCE} = 3.\sin 30^\circ  = 1,5{\rm{ }}\left( m \right)\]

Lại có

\[\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right);{\rm{ }}D \in \left( Q \right) \Rightarrow d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {D,\left( P \right)} \right) = DH = DE + EH = DE + BK \approx 3,55{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\]