Một cái lều có dạng hình lăng trụ \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có các cạnh bên vuông góc với hai mặt phẳng đáy.

Cho biết \(AB = AC = 2,4\;m;BC = 2\;m;A{A^\prime } = 3\;m\). Tìm góc giữa hai đường thẳng \(A{A^\prime }\) và \(BC;{A^\prime }{B^\prime }\) và \(AC\).

Gọi mặt đường là mặt phẳng \[\left( P \right)\], mặt cầu là mặt phẳng \[\left( Q \right)\], mặt phẳng chiếu nghỉ nối giữa hai nhịp bậc thang là mặt phẳng \[\left( R \right)\]. Ta có \[\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right){\rm{//}}\left( R \right)\].

Gọi \[K,{\rm{ }}H\] lần lượt là hình chiếu của \[B,D\] trên mặt phẳng \[\left( P \right)\]; \[E\] là hình chiếu của \[D\] trên \[\left( R \right)\]. Dễ thấy \[D,H,E\] thẳng hàng (như hình).

Ta có: \[\left( \alpha  \right) \cap \left( P \right) = AA'\]; \[\left( \alpha  \right) \equiv \left( {AA'B} \right)\]; \[\left( P \right) \equiv \left( {AA'K} \right)\].

\[BK \bot \left( P \right) \Rightarrow BK \bot AA'\]. Mà \[AB \bot AA'\]. Nên \[\left( {ABK} \right) \bot AA'\].

Suy ra \[\left( {\left( \alpha  \right),\left( P \right)} \right) = \widehat {BAK} = 20^\circ \].

Trong tam giác vuông \[ABK\]có: \[BK = AB.\sin \widehat {BAK} = 6.\sin 20^\circ  \approx 2,052{\rm{ }}\left( m \right)\]

Tương tự trên ta có:

Do \[\left( P \right){\rm{//}}\left( R \right)\] nên \[\left( {\left( \beta  \right),\left( P \right)} \right) = \left( {\left( \beta  \right),\left( R \right)} \right) = \widehat {DCE} = 30^\circ \].

Trong tam giác vuông \[CDE\]có: \[DE = CD.\sin \widehat {DCE} = 3.\sin 30^\circ  = 1,5{\rm{ }}\left( m \right)\]

Lại có

\[\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right);{\rm{ }}D \in \left( Q \right) \Rightarrow d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {D,\left( P \right)} \right) = DH = DE + EH = DE + BK \approx 3,55{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\]