Một hộp chứa các viên bi màu trắng và đen có kích thước và khối lượng như nhau. Mai lấy ra ngẫu nhiên từ một hộp, xem màu rồi trả lại hộp. Lặp lại thử nghiệm đó 80 lần, Mai thấy có 24 lần lấy được viên bi màu trắng.

a) Hãy tính xác suất thực nghiệm của biến cố "Lấy được viên bi màu đen" sau 80 lần thử.

b) Biết tổng số bi trong hộp là 10, hãy ước lượng xem trong hộp có khoảng bao nhiêu viên bi trắng.

Xét \(\Delta SAE\) vuông tại \(E\) có: \(S{E^2} + E{A^2} = S{A^2}\)

Suy ra \(S{E^2} = S{A^2} - E{A^2}\) \( = {2^2} - {1^2} = 3\).

Ta có \(SE\) là trung đoạn nên \(E\) là trung điểm của \(AB\).

Xét \(\Delta ABD\) có \(E,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BD\).   

Do đó \(EH\) là đường trung bình của \(\Delta ABD\) nên \(EH = \frac{1}{2}AD = 1\,\,({\rm{cm)}}\). 

 Xét \(\Delta SEH\) vuông tại \(H\) có: \(S{E^2} = S{H^2} + E{H^2}\) .

Suy ra \(S{H^2} = S{E^2} - E{H^2}\) \( = 3 - {1^2}\) .

Do đó \(SH = \sqrt 2 \,\,{\rm{cm}}\).

a) Xét \[\Delta BHK\] và \[\Delta CHI\] có:

\[\widehat {BHK} = \widehat {CHI}\]

\[\widehat {BKH} = \widehat {CIH}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]

Do đó $\Delta BHK\backsim \Delta CHI\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

b) Từ câu a:  suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {ICH}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {KBH} = \widehat {IBC}\) (do \[BI\] là đường phân giác \(\widehat {ABC}\))

Nên suy ra \(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\,\left( { = \widehat {KBH}} \right)\).

Xét \[\Delta ICH\] và \[\Delta IBC\] có:

\(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\left( { = \widehat {KBH}} \right)\)

\[\widehat {CIH} = \widehat {BIC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]

Do đó $\Delta ICH\backsim \Delta IBC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

Suy ra \(\frac{{CI}}{{BI}} = \frac{{IH}}{{IC}}\) hay \(C{I^2} = IH \cdot IB\) (đpcm).

d) Xét \[\Delta BAC\] có \[BI \bot AC\] nên \[BI\] vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên \[\Delta BAC\] cân tại \[B.\]

Suy ra \[BI\] là đường trung tuyến hay \[IA = IC.\]

Xét \[\Delta KBC\] vuông tại \[K\]có \[KI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[AC\] nên

\[KI = \frac{{AC}}{2} = AI = IC\].

Do đó \[\Delta KIC\] cân tại \[K\] nên \(\widehat {IKC} = \widehat {ICK}\).             (1)

Vì \[\Delta BKH = \Delta BDH\] nên \[BK = BD.\]

Suy ra \[\Delta BKD\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BKD} = \widehat {BDK} = \frac{{180^\circ  - \widehat {CBK}}}{2}.\)

Lại có \[\Delta ABC\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \frac{{180^\circ  - \widehat {CBK}}}{2}.\)

Do đó \(\widehat {BKD} = \widehat {BAC}\) suy ra \[KD\,{\rm{//}}\,AC\] nên \(\widehat {DKC} = \widehat {KCI}\).          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {DKC} = \widehat {IKC}\].

Do đó \[KC\] là tia phân giác của góc \[IKD\] (đpcm).