(3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A( AB > AC ). Kẻ AK vuông góc với BC (K \( \in \) BC). Lấy điểm D thuộc tia đối của tia KA sao cho KD = KA.

(a) Chứng minh \(\Delta CAK = \Delta CDK\)

(b) Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở M và cắt AB ở H. So sánh độ dài các đoạn thẳng DM, DK, AB.

(c) Kẻ BN vuông góc với đường thẳng AM (N\( \in \) tia AM). Chứng minh rằng \(\widehat {ABC} = \widehat {NBC}\)

a) Xét hai tam giác vuông CAK và CDK

Ta có: CK là cạnh chung, KA = KD (gt)

Suy ra \(\Delta CAK = \Delta CDK\) (c.g.c)

b) Ta có DK là đường vuông góc, DM là đường xiên kẻ từ D đến đường thẳng BC nên DM > DK (1)

Xét hai tam giác vuông CKA và MKD ta có:

KD = KA (gt), \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\) (do AC // DM) \( \Rightarrow \Delta CKA = \Delta MKD\) (g.c.g)

\( \Rightarrow \) DM = AC mà AC < AB (gt) do đó DM < AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra DK < DM < AB

c) HS chứng minh được \(\Delta AKM = \Delta AKC(c.g.c) \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{C_1}}\)

Ta có tam giác BMN vuông tại N nên \(\widehat {{B_2}} = 90^\circ - \widehat {{M_2}} = 90^\circ - \widehat {{M_1}} = 90^\circ - \widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}} \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {NBC}\)