Tìm \(a\) để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {x + 3a - 2}  + \sqrt {a + 2 - x} }}\) xác định với mọi \(x \in [ - 1;1]\).

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3a - 2 \ge 0}\\{a + 2 - x \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2 - 3a}\\{x \le a + 2}\end{array}} \right.} \right.\).

Trường hợp 1: \(2 - 3a > a + 2 \Leftrightarrow a < 0\). Khi đó tập xác định hàm số \(D = \emptyset \) không thể chứa đoạn \([ - 1;1]\).

Trường hợp 2: \(2 - 3a \le a + 2 \Leftrightarrow a \ge 0\quad (*)\). Khi đó tập xác định hàm số \(D = [2 - 3a;a + 2]\)

Hàm số xác định \(\forall x \in [ - 1;1] \Leftrightarrow [ - 1;1] \subset [2 - 3a;a + 2]\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - 3a \le  - 1}\\{1 \le a + 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge 1}\\{a \ge  - 1}\end{array} \Leftrightarrow a \ge 1} \right.} \right.\) (thỏa \(\left( * \right)\)).

Vậy với \(a \ge 1\) thì hàm số đã cho xác định với mọi \(x \in [ - 1;1]\).