Miền Trung Việt Nam vốn luôn phải oằn mình chống chọi với thiên tai. Giả sử trong một đợt áp thấp nhiệt đới mạnh lên thành bão, Trung tâm Dự báo Khí tượng Thủy văn Quốc gia phát đi thông báo khẩn về cơn bão số 4 có tên quốc tế là Sao La. Trên bản đồ quy hoạch phòng chống thiên tai được gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với đơn vị đo là \(10\)\({\rm{km}}\) (hướng Đông là trục \(Ox\), hướng Bắc là trục \(Oy\)), vị trí ba thành phố trọng điểm là Hà Tĩnh, Vinh (Nghệ An) và Thanh Hóa được xác định lần lượt tại các điểm \(T\left( {0;0} \right)\), \(N\left( { - 2;3} \right)\) và \(H\left( { - 1;5} \right)\). Tại thời điểm bản tin phát đi, tâm bão Sao La đang ở ngoài khơi Biển Đông, cách thành phố Hà Tĩnh \(200\)\({\rm{km}}\). Vị trí tâm bão nằm ở hướng Đông Nam so với Hà Tĩnh, tạo với phương Đông một góc \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha = 0,8\). Cơn bão di chuyển phức tạp theo hướng Tây Bắc lệch \(60^\circ \) so với hướng Tây với vận tốc 20km/h. Sức tàn phá của bão rất lớn với vùng nguy hiểm là một hình tròn có bán kính ban đầu \(20\)\({\rm{km}}\) và liên tục mở rộng thêm \(10\)\({\rm{km}}\) mỗi giờ. Để lên phương án sơ tán dân cư đồng bộ, Ban chỉ đạo cần biết khoảng thời gian mà cả ba thành phố này cùng nằm trong vùng nguy hiểm của bão Sao La kéo dài bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Đáp án: 10,8.

Khoảng cách giữa tâm bão ban đầu với thành phố Hà Tĩnh là \(TS = 20\).

Tọa độ tâm bão ban đầu \({S_0}\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{{S_0}}} = 20 \times 0,8 = 16\\{y_{{S_0}}} = - \sqrt {{{20}^2} - {{16}^2}} = - 12\end{array} \right. \Rightarrow {S_0}\left( {16; - 12} \right)\).

Cơn bão di chuyển theo hướng Tây Bắc lệch \(60^\circ \) so với hướng Tây với vận tốc 20km/h hay \(2\) đơn vị trục mỗi giờ. Vectơ vận tốc của cơn bão: \(\overrightarrow v = \left( { - 2 \times \cos 60^\circ ;2 \times \sin 60^\circ } \right) = \left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\).

Tọa độ tâm bão theo thờ gian \(t\) (giờ): \({S_t}\left( {16 - t; - 12 + \sqrt 3 t} \right)\).

Sức tàn phá của cơn bão có bán kính ban đầu \(20\)\({\rm{km}}\) và mở rộng thêm \({\rm{km}}\) mỗi giờ nên có phương trình: \(r\left( t \right) = 2 + t\).

Điều kiện cả ba thành phố cùng nằm trong vùng nguy hiểm: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_t}T \le r\left( t \right)\\{S_t}N \le r\left( t \right)\\{S_t}H \le r\left( t \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {16 - t} \right)}^2} + {{\left( { - 12 + \sqrt 3 t} \right)}^2}} \le 2 + t\\\sqrt {{{\left( { - 18 + t} \right)}^2} + {{\left( {15 - \sqrt 3 t} \right)}^2}} \le 2 + t\\\sqrt {{{\left( { - 17 + t} \right)}^2} + {{\left( {17 - \sqrt 3 t} \right)}^2}} \le 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{t^2} - \left( {24\sqrt 3 + 36} \right)t + 396 \le 0\\3{t^2} - \left( {30\sqrt 3 + 40} \right)t + 545 \le 0\\3{t^2} - \left( {34\sqrt 3 + 38} \right)t + 574 \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7,0004 \le t \le 18,8560\\8,0298 \le t \le 22,6240\\7,8156 \le t \le 24,4810\end{array} \right. \Leftrightarrow 8,0298 \le t \le 18,8560 \Rightarrow \Delta t = 18,8560 - 8,0298 \approx 10,8\) (giờ).

Vậy khoảng thời gian cả ba thành phố này cùng nằm trong vùng nguy hiểm là \(10,8\) giờ.