Miền Trung Việt Nam vốn luôn phải oằn mình chống chọi với thiên tai. Giả sử trong một đợt áp thấp nhiệt đới mạnh lên thành bão, Trung tâm Dự báo Khí tượng Thủy văn Quốc gia phát đi thông báo khẩn về cơn bão số 4 có tên quốc tế là Sao La. Trên bản đồ quy hoạch phòng chống thiên tai được gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với đơn vị đo là \(10\)\({\rm{km}}\) (hướng Đông là trục \(Ox\), hướng Bắc là trục \(Oy\)), vị trí ba thành phố trọng điểm là Hà Tĩnh, Vinh (Nghệ An) và Thanh Hóa được xác định lần lượt tại các điểm \(T\left( {0;0} \right)\), \(N\left( { - 2;3} \right)\) và \(H\left( { - 1;5} \right)\). Tại thời điểm bản tin phát đi, tâm bão Sao La đang ở ngoài khơi Biển Đông, cách thành phố Hà Tĩnh \(200\)\({\rm{km}}\). Vị trí tâm bão nằm ở hướng Đông Nam so với Hà Tĩnh, tạo với phương Đông một góc \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha = 0,8\). Cơn bão di chuyển phức tạp theo hướng Tây Bắc lệch \(60^\circ \) so với hướng Tây với vận tốc 20km/h. Sức tàn phá của bão rất lớn với vùng nguy hiểm là một hình tròn có bán kính ban đầu \(20\)\({\rm{km}}\) và liên tục mở rộng thêm \(10\)\({\rm{km}}\) mỗi giờ. Để lên phương án sơ tán dân cư đồng bộ, Ban chỉ đạo cần biết khoảng thời gian mà cả ba thành phố này cùng nằm trong vùng nguy hiểm của bão Sao La kéo dài bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ, với \(O(0;0;0)\) là tâm hình vuông \[ABCD\].

Khi đó tọa độ các điểm là: \(A(3; - 3;0)\), \(B(3;3;0)\), \(S(0;0;4)\).

Nguồn sáng \(I\) nằm trên trục \[Oz\]nên \(I(0;0;a)\) với \(2 < a < 4\).

a) ĐÚNG

Ta có \(AB = 6{\rm{m}}\), \(EA = FB = 1{\rm{m}}\) nên \(EF = 4{\rm{m}}\).

Do \[H,G\] lần lượt là trung điểm của \[SE,SF\] nên \[HG\] là đường trung bình của \[\Delta SEF\].

Suy ra \(HG = \frac{1}{2}EF = 2{\rm{m}}\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \[AB\] \( \Rightarrow SM = \sqrt {O{M^2} + S{O^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).

\(\Delta SAB\) cân tại \(S\), \(M\) là trung điểm của \[AB\]\( \Rightarrow SM \bot AB\). Kẻ \(MK \bot AB \Rightarrow MK\) là đường trung bình \[\Delta SEM \Rightarrow HK = \frac{1}{2}SM = \frac{5}{2} = 2,5\].

Diện tích cửa lều: \({S_{EFGH}} = \frac{{(EF + HG).HK}}{2} = \frac{{(4 + 2).2,5}}{2} = 7,5{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).

b) ĐÚNG

Khi \(a = 3\), ta có \(I(0;0;3)\).

Khoảng cách xa nhất từ bóng đèn đến người nằm trong vùng có ánh sáng là \(IH'\).

\[H\] lần lượt là trung điểm \[SE\]. Với \(S(0;0;4)\) và \(E(3; - 2;0)\) thì \(H(1,5; - 1;2)\).

Đường thẳng \[IH\] đi qua \(I(0;0;3)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {IH} = (1,5; - 1; - 1)\).

Phương trình tham số đường thẳng \(IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,5t}\\{y = - t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(H' = IH \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow 3 - t = 0 \Rightarrow t = 3 \Rightarrow \)Tọa độ \(H'(4,5; - 3;0)\).

Khoảng cách xa nhất là \(IH' = \sqrt {4,{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{(0 - 3)}^2}} = \sqrt {38,25} \approx 6,18{\rm{m}}\).

c) ĐÚNG

Người ta trải một tấm thảm đỏ rộng \(4{\rm{m}}\) dài \(6{\rm{m}}\) sao cho cạnh ngắn nhất vừa khít với cửa lều.

Vậy thảm đỏ là hình chữ nhật \[EFJQ\] và \(EQ{\rm{//}}Ox \Rightarrow {x_Q} = 3 + 6 = 9 \Rightarrow Q\left( {9; - 2;0} \right)\)_.

Để ánh sáng phủ trọn hết chiều dài tấm thảm đỏ \(6{\rm{m}}\)tức là Q và J phải nằm trong miền hình thang \[EFG'H'\]\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{H'}} \ge {x_Q} = 9\\{y_{H'}} \le {y_Q} = - 2\end{array} \right.\).

Đường thẳng \[IH\] đi qua \(I(0;0;a)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {IH} = (1,5; - 1;2 - a)\).

Phương trình tham số đường thẳng \(IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,5t}\\{y = - t}\\{z = a + \left( {2 - a} \right)t}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(H' = IH \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow a + \left( {2 - a} \right)t = 0 \Rightarrow t = \frac{{ - a}}{{2 - a}} = \frac{a}{{a - 2}} \Rightarrow \)Tọa độ \(H'\left( {\frac{{1,5a}}{{a - 2}}; - \frac{a}{{a - 2}};0} \right)\).

Do \[2 < a < 4 \Rightarrow a - 2 > 0\].

d) ĐÚNG

Ban quản lý yêu cầu vùng sáng phải phủ kín thảm đỏ nên \[2 < a \le 2,4\].

Để không chạm mép hồ, yêu cầu \({x_{H'}} < 3 + 9 = 12 \Rightarrow \frac{{1,5a}}{{a - 2}} < 12 \Leftrightarrow 1,5a < 12\left( {a - 2} \right) \Leftrightarrow a > \frac{{16}}{7}\).

Suy ra \[\frac{{16}}{7} < a \le 2,4\]m.

Vậy độ cao treo đèn \(a\) chỉ có thể nằm trong khoảng \(\left( {\frac{{16}}{7};2,4} \right]{\rm{ m\'e t}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

Theo đề bài ta có: \(P\left( B \right) = 0,6;\,\,P\left( {\overline B } \right) = 0,4;\,\,P\left( {A|B} \right) = 0,9;\,\,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,15\)

Tỉ lệ người được phỏng vấn thực sự xem trận đấu là:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6.0,9 + 0,4.0,15 = 0,6\) hay \(60\% \).

b) Đúng.

Tỉ lệ người đã trả lời "không xem" khi phỏng vấn trong số những người thực sự xem trận đấu là: \(P\left( {\overline B |A} \right) = \frac{{P\left( {\overline B A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4.0,15}}{{0,6}} = 0,1\) hay \(10\% \).

c) Đúng

Gọi C là biến cố "Người được phỏng vấn mặc áo thi đấu".

Theo đề bài ta có: \(P\left( C \right) = 0,2\)\( \Rightarrow P\left( {\overline C } \right) = 0,8\).

Trong số những người mặc áo thi đấu tỉ lệ người thực sự xem trận đấu là 85% nên \(P\left( {A|C} \right) = 0,85\).

Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {AC} \right) + P\left( {A\overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( A \right) = P\left( C \right).P\left( {A|C} \right) + P\left( {A\overline C } \right)\).

\( \Rightarrow 0,6 = 0,2.0,85 + P\left( {A\overline C } \right) \Rightarrow P\left( {A\overline C } \right) = 0,43\).

Ta có tỉ lệ người thực sự xem trận đấu trong những người không mặc áo thi đấu là:

\(P\left( {A|\overline C } \right) = \frac{{P\left( {A\overline C } \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,43}}{{0,8}} = 0,5375\) hay \(53,75\% \).

d) Đúng.

Ta có trong nhóm mặc áo thi đấu, xác suất xảy ra biến cố E là 10% nên

\(P\left( {E|C} \right) = 0,1 \Rightarrow P\left( {\overline E |C} \right) = 0,9\).

Xác suất người trả lời sai sự thật là:

\[P\left( E \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) + P\left( B \right).P\left( {\overline A |B} \right) = 0,4.0,15 + 0,6.0,1 = 0,12\].

Xác suất người trả lời đúng sự thật là: \(P\left( {\overline E } \right) = 1 - 0,12 = 0,88\).

Ta có \(P\left( {\overline E } \right) = P\left( {\overline E C} \right) + P\left( {\overline E \overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline E } \right) = P\left( C \right).P\left( {\overline E |C} \right) + P\left( {\overline E \overline C } \right)\)

\( \Rightarrow 0,88 = 0,2.0,9 + P\left( {\overline E \overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline E \overline C } \right) = 0,7\)

Khi đó, xác suất để một người trả lời đúng sự thật trong nhóm không mặc áo thi đấu là:

\(P\left( {\overline E |\overline C } \right) = \frac{{P\left( {\overline E \overline C } \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,7}}{{0,8}} = 0,875\) hay \(87,5\% \).